Формула конечных приращений

Если т. a=x, b=x+ Δ x отрезок [x; x+ Δ x], то по теореме Лагранжа

,

где .

Или, учитывая, что , , получим

– формула конечных приращений.

Note	Формула конечных приращений часто применяется в математике при различных доказательствах. Однако следует помнить, что где именно расположена точка с, теорема Лагранжа (к сожалению!) не дает ответа. Единственно, что следует из теоремы, это т. .

7.4. Теорема Коши [16]

Т.	(Теорема Коши) Пусть две функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b) и производная на (a;b). Тогда, .

Proof:

Чтобы воспользоваться теоремой Роля (см. п. 7.2) введем вспомогательную функцию

.

Очевидно, что , . Тогда по теореме Роля .

Производная

.

В т. , т.е.

.

Откуда , ч.т.д.

7.5. Правило Лопиталя [17]. Раскрытие неопределенностей

Т.	(Теорема Лопиталя) Пусть две функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [x0; x] и дифференцируемы на интервале (x0; x), причем . Пусть и . Тогда, если существует то , причем .

Proof:

По теореме Коши , где .

По условию теоремы и , т.е. .

Тогда при (по теореме о сжатой переменной) .

Или .

Пусть , тогда при , т.о. символ «с» можно заменить на символ «x», т.е. если

.

Note 1

Если рассмотреть отрезок [x; x0] и провести аналогичное доказательство, то все рассуждения справедливы при . Поэтому в дальнейшем будем писать .

Note 2

Пусть в т. и , тогда справедливы все выводы теоремы Лопиталя.

Note 3

Т.о., если или , то справедливо «Правило Лопиталя».

– Правило Лопиталя,

причем, следует иметь ввиду, что его необходимо читать «справа-налево», т.е. если существует предел отношения производных, то существует предел отношения функций и эти пределы совпадают.

Ex.1.

Ex.2.

Ex.3.

Пусть , тогда

Т.о., , откуда

.

7.6. Многочлен Тейлора [18] и Маклорена [19]. Остаточный член в форме Пеано и Лагранжа

Т.	Пусть функция y=f(x) определена и (n+1) раз дифференцируема в некоторой окрестности т. . Тогда справедлива формула Тейлора: . Или более кратко – формула Тейлора.

Proof:

Пусть .

Пусть – многочлен n -й степени, – неизвестные константы.

Тогда .

Пусть выполняется (n+ 1 )- е условие:

,

,

,

………………..

.

Напомним, что

.

1. Пусть х=х₀, тогда

или

.

Вычислим производную от многочлена P_n(x).

.

2. Пусть х=х₀, тогда

или

.

Вычислим производную 2-го порядка от P_n(x).

.

3. Пусть х=х₀, тогда

.

Продолжая этот процесс, вычисляя производные 3-го, 4-го, 5-го, …, n -го порядка, и, подставляя вместо , получим

, , …, .

Подставляя эти значения констант в формулу для многочлена P_n(x), получим

.

Докажем, что

или

,

т.е.

.

Note 1

Дома или на практическом занятии (применяя n раз правило Лопиталя) доказать, что

Note 2

Т.о. мы получили формулу Тейлора     с остаточным членом в форме Пеано[20].

Note 3

Дома или на практическом занятии (применяя n +1 раз теорему Коши) доказать, что где

Т.о., – формула Тейлора

с остаточным членом – в форме Лагранжа.

Note 4

Если в формуле Тейлора положить x0 = 0!!!, то получим формулу Маклорена Или более кратко – формула Маклорена.

Note 5

Дома или на практическом занятии получить формулы Маклорена для элементарных функций 1.   2.   3.   4.   5.

ГЛАВА 8. Исследование функций с помощью производных

Дата добавления: 2014-01-06