Дифференцирование неявной функции и функции, заданной параметрически

1. Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть функция y=y(x) задана неявно, т.е. F(x;y)= 0 или F(x;y(x))= 0.

Если функция F(x;y) – непрерывно дифференцируема в некоторой области D координатной плоскости X0Y, причем, частная производная функции двух переменных , то можно доказать, что

.

Эта формула будет доказана далее в разделе «Функции нескольких переменных». Следует заметить, что переменные в функции F(x;y) считаются независимыми.

Однако не обязательно разрешать уравнение F(x;y)= 0 относительно y. Достаточно продифференцировать это уравнение, считая y не переменной, а функцией аргумента x.

Ex. 1. Вычислить производную , если уравнение задано неявно .

Решение.

Продифференцируем это уравнение по переменной x, считая y=y(x), тогда получим

.

Откуда или, учитывая (из заданного уравнения), что , получим .

.

2. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть функция y=y(x) задана параметрически, т.е.

где параметр

По правилу дифференцирования сложной и обратной функции

.

Т.о.,

.

Ex. 2. Найти производную , если функция задана параметрически

Решение.

, т.о.,

ГЛАВА 7. Теоремы о среднем

8.1. Теорема Ферма [13]

Т.	(Теорема Ферма) Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда, если в т. функция достигает локального экстремума, то .

Note 1

Локальным экстремумом называют локальный («местный») максимум или минимум.

Proof:

Пусть в т. функция y=f(x) достигает локального максимума.

По определению производной .

Note 2

Приращение аргумента может быть любым, т.е. или .

1. Пусть , т.к. числитель имеет знак «-», а знаменатель знак «+».

2. Пусть , т.к. числитель имеет знак «-», и знаменатель знак «-».

Note 3

f '(c) – значение производной в т. с. Это значение не может быть одновременно меньше или больше нуля. Т.о. f '(c) =0, ч. т. д.

8.2. Теорема Ролля [14]

Т.	(Теорема Ролля) Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда, если на концах отрезка функция принимает равные значения f(a)=f(b), то .

Proof:

По второй теореме Вейерштрасса – функция, непрерывная на отрезке, достигает своего максимального М и минимального m значения.

Возможны два варианта:

1. Пусть М=m на [a;b] функция .

Тогда в т. , ч.т.д.

2. Пусть , тогда по теореме Ферма (п.7.1.) , ч.т.д.

7.3. Теорема Лагранжа [15]. Геометрический смысл

Т.	(Теорема Лагранжа) Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда, .

Proof:

Чтобы воспользоваться теоремой Роля (п.7.2.) введем вспомогательную функцию

.

Очевидно, что и , тогда по теореме Роля .

Но, производная .

В т.производная (по теореме Ролля).

Или , ч.т.д.

Геометрический смысл

Очевидно, что – тангенс угла «наклона» хорды, соединяющей точки и к оси ОХ.

– угловой коэффициент касательной к графику функции в т. .

Note	Таким образом, тангенс угла «наклона» хорды равен угловому коэффициенту касательной в т. .

Дата добавления: 2014-01-06