Использование математической модели задач при планировании потребности в ресурсах

Организация снабжения и управления ресурсами

1. Транспортная задача

2. Использование математической модели задач при планировании потребности в ресурсах

1. Транспортная задача

Многие оптимизационные задачи экономики сводятся к транс­портной задаче линейного программирования. Она характеризуется большим объемом неизвестных и линейными ограничениями в виде равенств. В Excel для ее решения используют инструмент Поиск ре­шения.

Формулировка транспортной задачи состоит в следующем. Имеется несколько пунктов производства и пунктов потребления некоторого продукта. Для каждого из пунктов производства задан объем производства, а для каждого пункта потребления — объем потребления. Известна также стоимость перевозки из каждого пункта производства в каждый пункт потребления единицы продукта. Требуется составить план перевозок продукта, в котором все пункты потребления были бы обеспечены необходимыми продуктами, ни из какого пункта производства не вывозилось бы продуктов больше, чем там производится, а стоимость перевозки была бы минимальной.

Этапы решения математической модели задач:

1. Составляют математическую модель задачи.

Для производства продукции четырех типов Прод 1, Прод 2, Прод 3, Прод 4 требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырьё, финансы. Норма расхода ресурсов и другие исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Исходные данные примера задачи планирования производства продукции.

Ресурсы	Прод 1	Прод 2	Прод 3	Прод 4	Наличие ресурса
Трудовые
Сырье
Финансы
Прибыль

Найти оптимальный план производства продукции

2. Введем обозначения:

X_j – количество выпускаемой продукции j – го типа (j=1,…,4). Тогда получаем следующую модель:

F=60x₁+70x₂+120x₃+130x₄ max

x₁+x₂+x₃+x₄ £16

6x₁+5x₂+4x₃+3x₄ £110

4x₁+6x₂+10x₃+13x₄ £100

x₁ ³0 (j=1,…,4).

Целевая функция представляет собой общую прибыль от производства продукции. Ограничения отражают конечность запасов ресурсов на предприятии. Неотрицательность переменных следует из их смысла.

3. Приведем исходную задачу к каноническому виду:

F=60x₁+70x₂+120x₃+130x₄ max

x₁+x₂+x₃+x₄ +y₁=16

6x₁+5x₂+4x₃+3x₄+y₂ =110

4x₁+6x₂+10x₃+13x₄+y3 =100

x₁ ³0 (j=1,…,4). y₁ ³0 (i=1,…,3).

Дополнительные переменные y₁ есть остатки ресурсов каждого вида.

4. Составим двойственную задачу:

F_д=16z₁+110z₂+100z₃ min,

z₁+6z₂+4z₃ ³60,

z₁+5z₂+6z₃ ³70,

z₁+4z₂+10z₃ ³120,

z₁+3z₂+13z₃ ³130,

z₁ ³0 (i=1,…,3).

Двойственные переменные z₁ это оценка ресурсов задачи (теневые цены). В двойственной задаче приведем ограничения к виду равенства, вычитая из левых частей ограничений дополнительные переменные v_j:

F_д=16z₁+110z₂+100z₃ min,

z₁+6z₂+4z₃-v₁ =60,

z₁+5z₂+6z₃ –v₂=70,

z₁+4z₂+10z₃ –v₃=120,

z₁+3z₂+13z₃-v₄ =130,

z₁ ³0 (i=1,…,3). v₁ ³0 (j=1,…,4).

Дополнительные двойственные переменные v_j есть производственные потери на единицу продукции j – го типа.

5. Для решения задачи в Excel с помощью инструмента «Поиск решения» следует сформируем экран.

Рис. 1. Экран Excel для решения задачи планирования производства продукции

Рис 2. Окно «Поиск решений» для решения задачи планирования производства продукции

Вызовем средство «Поиск решений» и заполним окно поиска так, как показано на рис. 2.

Затем следует активизировать процесс поиска и после его окончания в окне «Результаты поиска решений» выделить все три типа отчетов.

Рис. 3Окно завершения поиска

Нажатие кнопки «ОК» приведет к созданию новых листов рабочей книги: «Отчет по результатам», «Отчет по устойчивости», «Отчет по пределам». Результаты решения на исходном рабочем листе будут сохранены.

Отчеты по результатам:

· В первой таблице приводится сведения о значении целевой функции;

· Во второй таблице представлены значения исходных переменных и результата решения задачи;

· Третья таблица показывает результаты оптимального решения для ограничений и граничных условий. В графе формула приведены зависимости, которые были введены в диалоговое окно «поиск решения». В графе значение приведены величины использованного ресурса, а в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса (оптимальное значение дополнительных двойственных переменных y₁ (i=1,…,n)). Если ресурс используется полностью, то в графе Статус указывается связанное, в противном случае указывается не связанное. Для граничных условий вместо величины неиспользованного ресурса показана разность между оптимальным значением переменной и заданной для нее границ.

Отчет по устойчивости состоит из 2 – ух таблиц:

· В первой таблице приводится информация по переменным:

1. оптимальное значение переменных x₁ (j=1,…,n);

2. соответствующие значения нормирующей стоимости, т.е. оптимальные значения дополнительных двойственных переменных v₁ (j=1,…,n);

3. коэффициенты в целевой функции при переменных, заданные в условии;

4. предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменны, входящих в оптимальное решение.

· Во второй таблице показаны аналогичные значения для ограничений:

1. величины использованных ресурсов;

2. теневые цены для каждого ресурса, т.е. оптимальное значение двойственных переменных z₁ (j=1 ¸m);

3. предельные приращения ресурсов Db+ и Db-, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Отчет по пределам показывает, как может изменятся выпуск продукции, вошедший в оптимальное решение, при сохранении структуры этого решения. В отчете по пределам показаны значения целевой функции на нижнем и верхнем пределе для продукции, которая вошла в оптимальное решение.

Раздел 3. Управление экономическим объектом

Дата добавления: 2014-01-06