Лекция 9. 6. Форсирующее звено первого порядка

6. Форсирующее звено первого порядка.

Форсирующим звеном первого порядка называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид:

.

Нетрудно убедиться в том, что это выражение можно представить как сумму уравнений усилительного (пропорционального) и дифференцирующего звеньев.

Передаточную функцию форсирующего звена

принято записывать в стандартной форме

W(p)=k(1+Tp),

где k=k₁ – коэффициент усиления, а T=k₂/k₁ – постоянная времени звена.

Передаточная функция форсирующего звена содержит полином в числителе, корень которого z=-1/T называется «нулем» форсирующего звена.

Переходная характеристика форсирующего звена определяется соотношением

.

Качественный вид ее приведен на рис. ниже.

Весовая функция звена следующая:

Амплитудно-фазовая характеристика находится по передаточной функции и имеет вид

W(j )=k(1+jT ). (36)

Соответствующая амплитудно-фазовая характеристика изображена на рисунке ниже.

Вещественная частотная характеристика звена не зависит от частоты и равна U( )=k, мнимая частотная характеристика представляет собой прямую V( )=kT .

Амплитудная частотная характеристика может быть построена по выражению

,

а фазовая частотная характеристика определяется в виде

(*)

причем в пределе .

На основании выражения для R( ) определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику

(**)

Как и в предыдущем случае, для форсирующего звена удобнее строить не точную, а асимптотическую ЛАЧХ. Здесь ₀=1/T – сопрягающая частота звена.

Причем ее можно получить, исследуя отдельно области низких и высоких частот или суммируя ЛАЧХ пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Нетрудно убедиться, сравнивая выражения

и для ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена с выражениями (*) и (**), в том, что логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики форсирующего звена представляют собой зеркальное отображение относительно оси абсцисс соответствующих логарифмических характеристик апериодического звена.

7. Форсирующее звено 2-го порядка

ПФ:

При k=1 ЛЧХ – зеркальные отображения ЛЧХ колебательного звена относительно оси частот.

Форсирующие звенья, как первого, так и второго порядка физически неосуществимы.

8. Минимально-фазовые звенья

В общем случае передаточная функция звена

;

где

k’=b₀/a₀ - приведенный коэффициент усиления;

; ;

.

По теореме Безу:

Здесь z_j,- нули ПФ; s_i, - полюса ПФ.

Как видим, M(p) и N(p) – приведенные многочлены (коэффициент при старшем члене равен 1).

z_j находятся как корни M(p)=0; W(p)=0

s_i - находятся как корни N(p)=0; W(p)=

Если N и M не содержат общих множителей, то говорят, что z_j и s_i - нули и полюса звена.

Определение: 1.Звено называется минимально-фазовым, если вещественные части всех его нулей и полюсов являются отрицательными или тождественно равными нулю.

2. Звено называется неминимально-фазовым, если оно содержит хотя бы один нуль или полюс с положительной вещественной частью.

Условие минимальной фазовости:

Re Si≤0, , Re Zj≤0,

Неминимально-фазовые звенья, содержащие полюсы с положительной вещественной частью, называются неустойчивыми звеньями.

Пример. Рассмотрим апериодическое звено с ПФ:

, Т>0

Следовательно, имеет полюс S₁=-1/T <0 – минимально-фазовое звено.

Рассмотрим неустойчивое апериодическое звено с ПФ: ;

S₁=1/T >0 – неминимально-фазовое звено.

ЛАЧХ:

L( )=La( );

L( ) – неустойчивого, La( ) – апериодического звеньев.

ФЧХ неустойчивого звена:

( )=-[π+( )],

где

_a( )= -arctg T (1)

является ФЧХ апериодического звена.

Как видим,

|( )|>| _a( )|, ,

кроме .

К минимально-фазовому звену из множества звеньев с одинаковыми ЛАЧХ, относится звено с ФЧХ (1)/

Выражение для ФЧХ минимально-фазового звена по теореме Бодэ

( )=, (*)

где =lg , а - малая величина.

Из этого выражения следует, что для минимально-фазового звена:

1) можно найти ( ) по L( );

2) выражение ( ) для ФЧХ при =lg в основном определяется наклоном L( ), т.к. - малая величина.

Условие минимальной фазовости позволяет находить W(p) по L( ), и по W(p) находить ( ), особенно просто по асимптотической ЛАЧХ.

Пример. Известна ЛАЧХ минимально-фазового звена. Надо найти W(p).

Так как 20lgk=20, следовательно, k=10;

1/T=5, поэтому T=0.2.

ПФ

W(p)=10/(0.2p+1),

т.к. звено минимально-фазовое. Отсюда ЛФЧХ

Дата добавления: 2014-01-07