Частотные методы оценки качества переходного процесса

а) Оценка качества переходного процесса по АЧХ замкнутой системы и АФХ разомкнутой системы.

Система автоматического управления была бы идеальной, если бы выходная величина системы в любой момент времени в точности равнялась бы входной величине. Так как любой входной сигнал может быть представлен в виде суммы синусоидальных составляющих с разными частотами путем разложения в ряд Фурье или представления в виде интеграла Фурье, то в случае идеальной системы амплитуда любой гармоники на выходе должна равняться амплитуде той же гармоники на входе, т.е. АЧХ замкнутой системы, определяемая как

Ф(w)=|Ф(jw)|,

где Ф(jw)=Ф(р)|_p=j представляет собой АФХ замкнутой системы, должна удовлетворять условию

Ф(w)=1 (83)

для всех частот.

Обычно составляющих очень высокой частоты в задающем воздействии не содержится. Поэтому условие (83) должно выполняться лишь для некоторой полосы частот от 0 до w_cз, а при остальных частотах Ф(w) в соответствии с требованием высокой помехоустойчивости должна обращаться в нуль.

Таким образом, характеристика Ф(w) для идеальной системы должна иметь вид АЧХ идеального фильтра низких частот, показанной на рис. 15.

Характеристика Ф(w) реальной системы отличается от идеальной (рис. 15) наличием максимума Ф_макс и постепенным спадом при высоких частотах. Частота w_p, при которой Ф(w)=Ф_макс, называется резонансной частотой.

Рис. 15

Сравнивая характеристики реальной и идеальной систем, видим, что различие между этими характеристиками тем больше, чем больше величина М=Ф_макс. Поэтому эта величина, называемая показателем колебательности, может служить для оценки качества переходного процесса, а именно для оценки запаса устойчивости (колебательности) системы. Чем больше М, тем больше колебательность, а следовательно, и перерегулирование. Если М обращается в бесконечность, то это свидетельствует о нахождении системы на границе устойчивости.

Действительно, если модуль характеристики Ф(jw) равен бесконечности, то и само выражение Ф(jw)= ∞ на частоте w_p. Следовательно, система имеет два сопряженных мнимых полюса ±jw_р.

Обычно считают, что переходная характеристика имеет слабую колебательность, если величина М не превосходит 1,1-1,25.

Если начальное значение характеристики Ф(w) не равно 1 (это имеет место в случае статических систем), то за показатель колебательности принимают величину относительного максимума Ф_макс/Ф(0).

При M>1 время установления t_y можно оценить по формуле

. (85)

По этой же формуле можно приближенно оценить время t_m первого максимума переходной характеристики h(t) системы.

Обычно при М=1,1-1,25 круговая частота w_t колебаний переходной характеристики близка к частоте резонанса. Если теперь считать, что число колебаний за время переходного процесса t_p равно двум, то

. (86)

О быстродействии можно судить по частотам w_п и w_b, определяющих полосу пропускания замкнутой системы соответственно на уровне 1 и 0,707. Дело в том, что при М=1,1-1,25 w_п и w_b примерно равны резонансной частоте.

Заметим, что полосой пропускания называют диапазон частот, в котором управление эффективно. Обычно .

От оценок по частотным характеристикам замкнутой системы можно перейти к оценкам по АФХ разомкнутой системы. При этом в качестве оценок фигурируют частота среза w_c и запасы устойчивости по фазе и амплитуде 1/h.

В случае, когда переходная характеристика носит колебательный характер (М>1), частота w_c приблизительно равна частоте w_p. Поэтому время t_y и t_p можно определить по формулам (85) и (86), произведя в них замену w_p на w_c.

Перерегулирование, а следовательно, и колебательность переходной характеристики можно оценить по запасам устойчивости и 1/h, показывающим, насколько удалена АФХ от точки с координатами (-1,j0).

Запас устойчивости можно связать с показателем колебательности М, если аппроксимировать систему высокого порядка системой второго порядка. На возможность такой аппроксимации как первого приближения указано А.Ю.Ишлинским. Графики, представленные на рис. 17 дают количественную связь между перерегулированием , показателем колебательности М, запасом устойчивости по фазе и относительным коэффициентом затухания системы второго порядка с передаточной функцией

.

Из рисунка 17 видно, что приемлемый запас устойчивости по фазе лежит в пределах 30-60^о.

Рис. 17.

В таблице приведены соотношения, связывающие показатели качества с параметрами системы второго порядка.

Кроме того, для такой системы полоса пропускания на уровне 0,707 может быть найдена по приближенной формуле

w_b= (-1.19+1.85) w₀.

Как показала практика, для качественной работы системы требуется запас устойчивости по амплитуде, который лежит в пределах 3-5.

б) Оценка качества переходного процесса по ЛЧХ

Запасы устойчивости по фазе и амплитуде , а также частота среза w_c могут быть найдены с помощью ЛЧХ L(w) и разомкнутой системы. Поэтому все выводы предыдущего раздела, касающиеся вопроса об оценке качества системы с помощью величин , 1/h, _c, справедливы и в данном случае. Так, приемлемый запас устойчивости по амплитуде определяется рекомендуемыми значениями 1/h и лежит в пределах 10-15 дБ.

Замечание. Перерегулирование обычно более чувствительно к запасу устойчивости по фазе, чем к запасу устойчивости по модулю, т.к. в первом случае разомкнутая система имеет больший коэффициент усиления. Поэтому требования к колебательности системы могут быть заданы в виде одного запаса устойчивости по фазе .

С помощью ЛЧХ можно получить более точную оценку качества минимально-фазовых систем.

Как известно, в минимально-фазовых системах существует однозначная связь между логарифмическими амплитудной L(w) и фазовой характеристиками. Поэтому о свойствах таких систем можно судить, лишь зная одну из этих характеристик. В теории автоматического управления применяют обычно характеристику L(w), имея в виду простоту ее построения.

В основу суждения о поведении замкнутой системы положено понятие типовой ЛАЧХ L(w).

Если ЛАЧХ разомкнутой системы удовлетворяет следующим трем условиям:

- значения ЛАЧХ в низкочастотной области относительно велики с целью обеспечения малой величины установившейся ошибки;

- значения ЛАЧХ в высокочастотной области относительно малы с целью уменьшения влияния высокочастотных помех;

- наклон ЛАЧХ в области средних частот [0,4 w_c; 4 w_c] примерно равен -20дБ/дек, то справедливы следующие соотношения, связывающие показатели качества

.

Здесь М – показатель колебательности, - полоса пропускания, определяемая диапазоном частот, в котором АЧХ замкнутой системы больше или равна единице.

При этом относительный коэффициент затухания и собственная частота колебания w₀, соответствующие паре ближайших к мнимой оси комплексно-сопряженных полюсов замкнутой системы (доминирующих полюсов), определяются как

Оценка качества системы по этим формулам обеспечивает достаточную для практики точность. Так частота среза w_c косвенно характеризует длительность переходного процесса. Время переходного процесса t_p≈3/w_c при 5% допустимой ошибке обратно пропорционально частоте среза.

Особо отметим, что для малой колебательности (большого запаса устойчивости) системы необходимо, чтобы частота среза w _c приходилась на участок характеристики L( w ) с наклоном -20дБ/дек. Причем, чем шире участок с наклоном -20дБ/дек, тем больше запасы устойчивости системы при прочих равных условиях.

в) Оценка качества переходного процесса по функции чувствительности и дополнительной функции чувствительности

В последнее время для суждения о свойствах САУ используют совместно модуль функции чувствительности |S()| и модуль дополнительной функции чувствительности |T()|, другими словами АЧХ |Ф()| замкнутой системы.

Критерии максимальных значений (оценка колебательности и робастности)

При этом качество системы оценивают по максимальным значениям функции чувствительности и дополнительной функции чувствительности:

; .

Величина определяет наименьшее расстояние от АФХ разомкнутой системы до критической точки ( - 1,j0).

Рекомендуемые значения:

, .

Если максимумы удовлетворяют этим рекомендациям, то запасы устойчивости

определяются неравенствами

,

Например, для =2 мы гарантируем и .

Полоса пропускания и частота среза ( оценка быстродействия )

Определим полосу пропускания замкнутой системы с помощью частоты , которая соответствует частоте, при которой первый раз пересекает прямую снизу.

Как известно, полосу пропускания замкнутой системы в рамках T определяют с помощью частоты , т.е. самой большой частоты, при которой пересекает прямую сверху (см. рисунок ниже).

Для систем с запасом устойчивости по фазе мы имеем

<<,

где -частота среза, при которой АЧХ разомкнутой системы пересекает 1 (0 дБ) сверху.

Дата добавления: 2014-01-07