Фундаментальные ограничения. Свойства функции чувствительности

Лекция 27

Как следует из предыдущего параграфа, чем меньше модуль функции чувствительности, тем меньшее влияние оказывают малые изменения в ПФ разомкнутой системы W(p) на свойства замкнутой системы. Напомню, что в отсутствие шума измерений полная ошибка воспроизведения , где - функция чувствительности. Следовательно, чтобы иметь хорошее качество, мы должны обеспечить | S( )| >>1. Однако, АФХстрого физически осуществимойразомкнутой системы W( )= будет стремиться к нулю на высоких частотах, так что S при Это означает, что невозможно иметь низкую чувствительность, следовательно, также хорошо отслеживать задающее воздействие и уменьшать влияние возмущения f на произвольно высоких частотах. Фактически ситуация даже еще более сложная, так как аналитическая структура W(p) ограничивает вид| S( )|. В зависимости от расположения полюсов и нулей W(p) ( в особенности, от числа правых нулей и полюсов ) существуетнесколькоограничений на S. Чтобы дать представление о самом простом из них, изначально полученным Боде, допустим, что W(p) не имеет ни правых полюсов, ни правых нулей (т.е. разомкнутая система является устойчивой и минимально-фазовой), и пусть относительная степень W(p) ( разность между числом полюсов и нулей ) равна 2 (т.е. | W( )| при , если )). Тогда можно показать, что

. (*)

Это означает, что на логарифмическом для S и линейном для графике | S( )| площадь, лежащая ниже нуля (| S( )|<1), должна быть уравновешена равной площадью, лежащей выше нуля (| S( )|>|1). Это иллюстрировано на рис. ниже.

Если | S( )|<1 замкнутая система уменьшает чувствительность к возмущениям и к изменению параметров и таким образом замкнутая система становится более «робастной». Если | S( )|>1, то замкнутая система фактически усиливает возмущенияи система становится более «чувствительной». Уравнение (*) влечет за собой как бы «консервацию (сохранение) чувствительности».

В результате система диапазонами частот, где она робастна к возмущениям и к изменению параметров, «расплачивается» диапазонами частот, где она чувствительна к возмущениям и изменению параметров.

В этом проявляется так называемый эффект «водяного матраса (водяной кровати)»: уменьшение |S()| на некоторых частотах (давление на водяной матрас в каком-то месте) приводит к повышению |S()| на других частотах (поднятию поверхности матраса в других местах). Как следствие, увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы будет увеличивать диапазон частот, в котором влияние возмущений будет ослаблено, но в то же время приведет к повышению чувствительности на высоких частотах (см. рисунок ниже).

Здесь ПФ разомкнутой системы определяется как

.

При неустойчивых полюсах в W(p) интеграл (*) изменяется на

,

что делает еще более сложной проблему уменьшения чувствительности. Чем «быстрее» неустойчивые полюсы (чем дальше удалены от мнимой оси), тем проблема становится еще более сложной. Фактически это обстоятельство может быть использовано как аргумент, почему в общем случае следует избегать неустойчивых управляющих устройств (регуляторов).

Дата добавления: 2014-01-07