Аппроксимация критерия робастного качества

Применение критерия робастного качества для получения требуемого закона управления достаточно сложно, если рассматривать эту задачу как оптимизационную. Однако решение этой задачи можно упростить, если аппроксимировать критерий качества более удобным с точки зрения оптимизации выражением.

Вначале рассмотрим вектор , где x₁ =G_S S и x₂=GT для некоторого конкретного значения частоты .

Рис. 16

Критерий робастного качества в новых обозначениях можно записать так

. (*)

Граничное значение этого неравенства на плоскости (x₁ , x₂) изображается в виде ромба со стороной (рис. 16). Впишем в этот ромб окружность с центром в начале координат и радиусом 1/. При этом условие (*) можно аппроксимировать условием

, (**)

где является обычной евклидовой нормой (длиной вектора x).

Заметим, условие (**) аналогично условию (*), однако аппроксимация накладывает более жесткие условия.

Таким образом, аппроксимация критерия робастного качества

имеет вид

.

Теперь мы можем рассматривать проблему робастного качества как «пакетную проблему»

.

Поэтому можно найти оптимальный регулятор как решение задачи

,

которая была рассмотрена на лекции 32 в связи со смешанной чувствительностью.

Однако такой подход обычно не дает ответа на вопрос о том, меньше ли единицы левая часть (14) .

Поэтому применяют другой вид задачи оптимального управления. Вместо того чтобы узнать, меньше ли единицы левая часть (14) (что может быть невыполнимо по разным причинам, в первую очередь из-за фундаментальных ограничений, известно, что критерий качества отражает наше желание, но не нашу возможность) мы можем задать вопрос, меньше ли левая часть (14) некоторого граничного значения . При этом задача ставится так: найти регулятор W₂ (p), который минимизирует . Определение даже приближенного решения этой задачи требует софистических рассмотрений.

Здесь надо сделать одно замечание. Пусть

(***)

обозначает оптимальное значение нормы. Важным свойством оптимального регулятора состоит в том, что он дает плоскую (равномерную) частотную характеристику на всех частотах, т.е. . Практическое значение этого свойства заключается в том, что ПФ G_SS и GT, являющиеся результатом решения уравнения (***), будут близки к . Это дает в руки проектировщика механизм для непосредственного формирования модулей | S|, |T| и |W₂| за счет выбора функций веса.

Наконец, вышеприведенное обсуждение методов робастного управления не затронуло влияния шумов измерения. В последующем на примере фильтра Калмана мы обсудим, как оценить состояние в присутствии шума измерения. Оптимальная оценка состояния, определяемая с помощью фильтра Калмана, предполагает, что мы точно знаем модель объекта. Комбинация (сочетание) робастных методов с оптимальной оценкой состояния остается темой текущих исследований ученых в области управления.

Дата добавления: 2014-01-07