Векторы

В настоящем параграфе дается определение вектора в трехмерном евклидовом пространстве (понятия вектора на плоскости и вектора на прямой являются частными случаями этого определения). Предварительно введем ряд дополнительных определений.

Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными, если прямые АВ и СD или параллельны, или совпадают. Вырожденный направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.

Будем говорить, что два невырожденных направленных отрезка и , лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое направление, если точки В и D лежат по одну сторону от прямой АС. Если точки В и D лежат по разные сторон от прямой АС, то направленные отрезки и имеют противоположное направление (см.рис.3). В случае, если невырожденные направленные отрезки и лежат на одной прямой а, они имеют одинаковое направление, если на любой прямой b, параллельной а, найдется невырожденный направленный отрезок , имеющий одинаковое направление с каждым из направленных отрезков и . Если же любой неврожденный отрезок (лежащий на прямой b, параллельной прямой а имеет одинаковое направление с одним из направленных отрезков или и противоположное с другим, то направленные отрезки и имеют противоположное направление. Наконец, условимся считать, что вырожденный направленный отрезок имеет одинаковое направление с любым направленным отрезком.

Если направленные отрезки и коллинеарны, то будем писать ; если при этом они имеют одинаковое направление, то , а если противоположное, то .

Два направленных отрезка и называются равными , если выполнены следующие условия:

1) равны длины отрезков и ;

2) направленные отрезки и коллинеарны;

3) направленные отрезки и имеют одинаковое направление.

Свободным вектором называется класс всех равных между собой направленных отрезков. Нулевым вектором называется класс всех вырожденных направленных отрезков.

Свободный вектор часто обозначают и изображают любым из направленных отрезков того класса направленных отрезков, которым является вектор .

Отложить свободный вектор от точки А – значит построить направленный отрезок входящий в класс направленных отрезков, образующих вектор .

В дальнейшем под словом «вектор» мы будем понимать свободный вектор.

Рассмотрим два произвольных вектора и . Пусть направленный отрезок из класса направленных отрезков, образующих вектор , а – направленный отрезок из класса направленных отрезков, образующих вектор .

Векторы и называются коллинеарными, если коллинеарны направленные отрезки и . Если при этом направленные отрезки и имеют одинаковое направление, то векторы и имеют одинаковое направление, а если направленные отрезки и имеют противоположное направление, то векторы и имеют противоположное направление.

Если векторы и коллинеарны, то будем писать ; если при этом они имеют одинаковое направление, то будем писать , а если противоположное, то . Если направленные отрезки и равны, то будем говорить, что векторы и равны, и писать . Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ.

Длина вектора обозначается так: .

Теорема 6. Необходимым и достаточным условием равенства направленных отрезков и является совпадение середины отрезка АD с серединой отрезка ВС.

Доказательство необходимости. Дано . Требуется доказать, что середина отрезка АD совпадает с серединой отрезка ВС.

Пусть О – середина отрезка АD.

Рассмотрим преобразование S симметрии относительно точки О. При этом преобразовании каждой точке М ставится в соответствие точка , симметричная точке М относительно точки О, т.е. такая, что точка О является серединой отрезка . Каждый направленный отрезок при преобразовании S переходит в направленный отрезок , такой, что (рис. 4).

Пусть – точка, в которую при преобразовании S перейдет точка В. Так как точка А переходит в точку D, то направленный отрезок перейдет в направленный отрезок (т.к. по условию теоремы ) и, значит, точки и С совпадают, т.е. точка О является также и серединой отрезка ВС (рис.5).

Доказательство достаточности. Предположим, что середина отрезка AD совпадает с серединой отрезка ВС и докажем, что

.

Пусть О – середина отрезка AD; по условию О является и серединой отрезка ВС. Значит при преобразовании S симметрии относительно точки О точка А перейдет в D (рис.6), а точка В в точку С, поэтому .

Следствие. Если , то .

Понятие вектора и векторное исчисление возникло в связи с рассмотрением в физике и механике Рис. 6.

таких понятий, как скорость, уско-

рение и т.д. К понятию свободного вектора мы пришли из определения равенства направленных отрезков.

Существуют и другие определения равенства двух направленных отрезков: будем говорить, что направленные отрезки и равны, если выполнены следующие условия:

1) длины отрезков АВ и СD равны;

2) отрезки АВ и СD принадлежат одной прямой;

3) направленные отрезки и имеют одинаковое направление.

Тогда класс всех равных между собой направленных отрезков называют скользящим вектором.

Понятие скользящего вектора и векторное исчисление скользящих векторов возникло в механике (статике) при изучении взаимодействия сил, приложенных к твердому телу; (силу «нельзя» переносить параллельно самой себе, но можно переносить вдоль линии ее действия).

Дата добавления: 2014-01-07