Механические колебания

Основное уравнение свободных незатухающих колебаний.

Механические колебания.

Вопросы

Колебательное движение

3. Кинематические и динамические характеристики свободных незатухающих колебаний.

4. Векторное представление колебаний.

	Рис. 1.

Колебательным назы­вается такое движение, при котором тело многократно проходит через одно и то же устойчивое положение равно­весия. При этом под устой­чивым понимается такое положение, в котором тело может находиться бесконечно долго.

Рис. 2. Представление колебаний: а – сложной формы, б – прямоугольные, в – пилообразные, г – гармонические, д – затухающие, е – нарастающие

Виды колебаний

· периодические (изменяющиеся величины повторяются через равные промежутки времени);

· непериодические.

Простейший вид периоди­ческих колебаний – гармонические колебания, при которых изменение величин происходит по закону синуса или косинуса.

Негармонические колебания можно представить как сумму гармонических (теорема Фурье).

Рис. 3.

В зависимости от физической природы процесса различают колебания:

· механические,

· электро­магнитные,

· электромеханические и т.д.

В зависимости от характера действующих сил различают колебания:

· свободные (собственные),

· вынужденные,

· автоколебания,

· параметрические.

2. Основное уравнение свободных незатухающих колебаний

Рис. 4.

Свободные незатухающие колебания совершаются в консервативных системах при отсутствии сил трения.

Такие колебания возникают под действием упругой (квази­упругой) силы:

. (1)

Уравнение второго закона Ньютона

, (2)

где , w₀ - циклическая частота. (3)

Общее решение уравнения (2) имеет вид

x = A cos (ω₀ t + j₀), (4)

где А и j₀ – произвольные постоянные.

(4) (2) ; ;

0 = 0.

5. Кинематические и динамические характеристики

свободных незатухающих колебаний

Кинематические характеристики: смещение, амплитуда, фаза, частота, период, скорость, ускорение.

Динамические характеристики: сила, энергия.

x = A cos (ω₀ t + j₀)

1. Смещение x - отклонение системы от положения равновесия.

2. Амплитуда А = x _max - максимальное отклонение системы от положения равновесия.

3. Фаза j = (ω₀ t + j₀) - угол, определяющий положение колеблющегося тела в данный момент времени t; j₀ = j(t = 0) - начальная фаза (значение фазы в начальный момент времени).

4. Циклическая частота колебаний w₀ = dj/d t - характеризует скорость изменения фазы.

5. Период колебаний Т - промежуток времени одного полного колебания за который фаза колебания получает приращение, равное 2p.

(5)

6. Частота колебаний n₀ - число полных колебаний, совершаемых в одну секунду

, [с^-1 = Гц] , (6)

. (7)

7. Скорость колеблющегося тела v = d x /d t

, (8)

- амплитуда скорости. Скорость также изменяется по гармоническому закону, причем скорость опережает смещение по фазе на .

8. Ускорение колеблющегося тела v = d² x /d t ² = d v /d t

(9)

- амплитуда ускорения. Ускорение также изменяется по гармоническому закону, причем оно находится в противофазе со смещением.

Рис. 6

9. Сила F = -kx

, x = A cos (ω₀ t + j₀) , (10)

т.е. период и фаза силы и ускорения совпадают.

10. Полная энергия незату­хаю­щих колебаний

(11)

,

. (12)

Свойства энергии

Рис. 7

1. Период изменения кине­ти­ческой и потенциальной энер­гии в 2 раза меньше периода изменения смещения, скорости и т.д.

.

2. Полная энергия колеб­лю­щегося тела пропор­циональна квадрату амплитуды.

3. Полная энергия пропор­циональна квадрату частоты колебаний.

4. При свободных незатухающих колебаниях полная энергия системы сохраняется постоянной, что выражает консервативность системы. Происходит лишь превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

4. Векторное представление колебаний

Векторное изображение колебаний облегчает и делает более наглядным решение ряда практически важных задач, в частности сложение нескольких колебаний одинаковой частоты.

Если изображать колебания графически с помощью векторов, вращающихся с угловой скоростью w₀, равной собственной частоте колебания, то полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

х =А cos (w₀ t + j).

Дата добавления: 2014-01-07