Расстояние от точки до плоскости

Геометрический смысл неравенства первой степени с тремя неизвестными

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Уравнения прямой, проходящей через две точки

Уравнения прямой, проходящей через две различные точки и, заданные относительно общей декартовой системы координат, можно записать в виде

,

или в параметрической форме

Доказательство. За направляющий вектор прямой можно взять вектор, после чего остается применить результаты теоремы 1.

В общем случае прямую р в общей декартовой системе координат можно задать уравнениями двух плоскостей:

пересекающихся по этой прямой.

Для приведения прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями и к каноническому виду надо найти какое-нибудь решение системы,. Точка лежит на прямой, по которой пересекаются плоскости и. Далее вектор с координатами

является направляющим вектором данной прямой, так как он ненулевой и компланарен каждой из данных плоскостей. В самом деле, применяя необходимое и достаточное условие компланарности вектора и плоскости, получим

и аналогично, так что вектор коллинеарен прямой, по которой пересекаются плоскости и. Каноническое уравнение этой прямой можно записать в виде

.

Теорема 2. Пусть относительно общей декартовой системы координат задана плоскость общим уравнением

(1)

Тогда для координат х, у, z всех точек, лежащих по одну сторону от плоскости, выполняется неравенство

рис. 130

,

а для координат х, у, z всех точек лежащих по другую сторону от плоскости, - неравенство. Плоскость делит пространство на два полупространства. То полупространство, для координат всех точек которого

,

будем называть положительным, а другое, для координат всех точек которого, отрицательным.

Теорема 3. Пусть относительно общей декартовой системы координат плоскость задана общим уравнением

.

Тогда, если отложить главный вектор этой плоскости от любой точки этой плоскости, то конец Р отложенного вектора будет находится в положительном полупространстве от данной плоскости (рис. 130).

Теорема 2 и 3 доказываются аналогично тому, как были доказаны теоремы 1 и 2 в § 62.

Если система координат – декартова прямоугольная, то главный вектор перпендикулярен к данной плоскости.

Условие для вектора является необходимым и достаточным условием того, что вектор, заданный относительно общей декартовой системы координат, направлен в положительное полупространство от плоскости, заданной уравнением

относительно той же системы координат.

Теорема 4. Расстояние d от точки до плоскости, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат общим уравнением

,

вычисляется по формуле

(1)

Доказательство теоремы ничем не отличается от доказательства теоремы § 63.

Дата добавления: 2014-01-07