Теоремы о проекции векторов

Теорема 1. Проекция суммы двух векторов (имеется в виду любого из трех видов параллельного проектирования) равна сумме их проекций:

пр.пр.пр.

Доказательство. Отложим вектор от произвольной точки А:

.

а от точки В отложим вектор :

.

Тогда

Пусть - проекции точек А, В и С. Тогда по определению проекции вектора

пр. ; пр. ; пр. ,

и так как , то

пр.пр.пр.(Здесь без Шаля)

Теорема 2. Проекция произведения числа на вектор равна произведению числа на проекцию вектора , т.е.:

пр.пр..

Доказательство. Отложим векторы и от произвольной точки А:

,

отсюда

.

Пусть - проекции точек А, В, С. Так как при параллельном проектировании сохраняется порядок точек на прямой и отношение отрезков на одной прямой, то предполагая, что точки и различны (в этом случае различны и точки А и В), имеем

откуда , или пр.пр..

Если точки и совпадают, но точки А и В различны, то точка совпадает с точками и и соотношение

пр.пр.

верно и в этом случае. Оно, очевидно, верно и в том случае, если совпадают точки А и В .

Дата добавления: 2014-01-07