Теоремы о координатах векторов

Теорема 3. Если векторы и лежат на оси, то координата их суммы равна сумме координат слагаемых, т.е.

коорд.коорд.+коорд..

Доказательство. Отложим вектор от любой точки А оси координат, на которой лежит этот вектор:

,

а от точки В отложим вектор :

.

Тогда

.

Далее:

коорд., коорд., коорд.

и на основании теоремы Шаля :

т.е. коорд.коорд.+коорд.. ч.т.д.

Теорема 4. Если вектор лежит на оси, то координата произведения числа на вектор рана произведению числа на координату вектора :

коорд.коорд..

Доказательство. Предположим, что и . Отложим векторы и от произвольной точки А оси:

.

Тогда

коорд., коорд.

и требуется доказать, что

.

Имеем

.

Если , то векторы и имеют одинаковое направление, значит, и - числа одного знака и . Если же , то векторы и имеют противоположное направление, значит, и числа разных знаков, а и - числа одного, знака, следовательно, .

Равенство коорд.коорд.верно также в случае и в случае .

Дата добавления: 2014-01-07