Гранные поверхности и многогранники. Образование и изображение на эпюре

L M l

L

I

h

M M h

Рис. 5 Поверхности вращения: а) цилиндр, б) конус, в) сфера

Строить точки на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей (например, точка М на рисунках 5, в и рис. 6).

Криволинейная поверхность вращенияобразуется привращении любой кривой вокруг оси (рис. 6).

ii

h

образующие

h

М

Рис. 6 Закрытый и открытый тор

Пример 1. По фронтальной и профильной проекциям прямого кругового цилиндра построить его горизонтальную проекцию и определить недостающие проекции точек, лежащих на его поверхности (рис. 7).

Дано: Решение задачи:

a″

а′ a′

cс′

b′ c″ c′ b′

b″ c″

b

c a

Рис. 7 Нахождение точек на поверхности цилиндра

Алгоритм решения задачи:

1.По двум заданным проекциям цилиндра можно построить его горизонтальную проекцию с помощью биссекторной плоскости.

2.Сделаем анализ расположения точек А, В, С на цилиндрической поверхности вращения.

2.1. (·) С принадлежит верхнему основанию цилиндра, которое вырождается в прямую линию на фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций => фронтальная проекция (·) с′ и горизонтальная проекция (·) с будут принадлежать верхнему основанию.

2.2. (·) В принадлежит крайней образующей цилиндрической поверхности, то есть профильному очерку цилиндра – окружности (т.к. i ┴ W) => профильная проекция (·) b″, принадлежит окружности.

2.3. Горизонтальную проекцию точки В - (·) b необходимо найти с помощью линий связи.

2.4. (·) А принадлежит цилиндрической поверхности, => через фронтальную проекцию (·) а′ можно провести образующую и найти профильную проекцию (·) а′′, которая проецируется на профильный очерк цилиндрической поверхности.

2.5. Горизонтальную проекцию точки А - (·) а необходимо найти с помощью линий связи.

Пример 2. По заданной образующей (SK), оси вращения (I) и точки М, принадлежащей конической поверхности, построить проекции прямого кругового конуса, основание которого принадлежит фронтальной плоскости проекций (рис. 8).

Дано: Решение задачи:

s′≡ i′ h″

h′

k′ s′≡ i′ s″

m′ m″

1′ 1″

k 1

• m h m

s i s i

Рис. 8 Нахождение точек на конической поверхности

Алгоритм решения задачи:

1. По условию задачи ось конической поверхности вращения (рис.42) перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, так как ее фронтальная проекция выродилась в точку (s′≡ i′).

2. При вращении образующей (sk) вокруг оси (i) на горизонтальной плоскости проекций поверхность проецируется в треугольник, а на фронтальной – в окружность с радиусом вращения (s′ k′).

3. По двум проекциям поверхности можно построить ее профильную проекцию.

4. (•) М принадлежит поверхности прямого кругового конуса => ее проекции принадлежат соответствующим проекциям образующих конической поверхности вращения, а именно: горизонтальная проекция (·)m sk; фронтальная - m′ s′k′; и профильная, соответственно m″ s″k″

5. Можно определить проекции точки М еще одним способом – с помощью горизонтали поверхности (h), которая перпендикулярна оси вращения, параллельна основанию и проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде окружности, а на две другие плоскости – в виде прямых линий.

Пример 3. Вращением окружности, заданного радиуса R, вокруг оси i, построить три проекции поверхности и найти проекции точек А, В, С, D, E (рис. 9). Определить, как называется данная поверхность.

Главный меридиан является самой большой горизонталью – экватором поверхности

…….. R i С

E≡D

В

А

Фронтальный очерк сферы

Рис. 9 Условие задачи

c′ c″

h′ r e′ ≡ d′ e″ d″ h″

a′ a″

Экватор

b′ b″

Горизонтальный очерк сферы

e

r c

b d

a

Рис. 10 Решение задачи

Алгоритм решения задачи:

1. Вращением окружности (образующей) вокруг оси симметрии образуется поверхность вращения, которая имеет название – сфера. Крайний очерк сферы на фронтальной, горизонтальной и профильной плоскостях проекций имеет форму окружности. => используя линии связи, можно построить три проекции сферы заданного радиуса (R – на рисунке 10,а).

Для построения проекций точек необходимо провести анализ расположения точек на поверхности вращения.

2. (·) А принадлежит главному меридиану, т.е. экватору сферы - он определяет фронтальный очерк сферы. => фронтальная проекция (·) а′ принадлежит экватору, а горизонтальная проекция (·) а, по линии связи лежит на фронтальном очерке поверхности.

3. (·) В принадлежит оси вращения, которая на профильную плоскость проекций проецируется в окружность – профильный очерк сферы. => по линии связи можно найти профильную проекцию (·)b″, которая принадлежит профильному очерку сферы. По двум проекциям (·) можно найти ее фронтальную проекцию - (·)b.

4. (·) С лежит на фронтальном очерке сферы, который на профильную и горизонтальную плоскости проецируется в виде осей симметрии сферы (так как является плоскостью уровня) => по линиям связи можно найти проекции (·) с″ и (·) с.

5. (·) Е и (·) D являются конкурирующими, т.к. их проекции совпадают. Для нахождения их проекций необходимо провести горизонталь поверхности, которая пересечет сферу по окружности радиусом – r (от оси сферы, до образующей сферы). Горизонталь поверхности будет проецироваться в окружность на горизонтальной плоскости проекций => можно найти горизонтальные проекции точек (·)е и (·) d.

6. Профильные проекции (·)е″ и (·)d′′ необходимо найти с помощью линий связи.

Таким образом, по условию задачи (рис. 10), мы определили, что данная поверхность вращения называется сферой. Построили проекции сферы на три плоскости проекций и определили местоположение всех точек, которые принадлежат этой поверхности вращения.

Гранные поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей L по ломаной направляющей M. При этом, если одна точка S образующей неподвижна, то создается пирамидальная поверхность (рис. 12, а). Если же образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рис. 12, б).

Элементами гранных поверхностей являются: вершина S (у призматической поверхности она находится в бесконечности), грань

(часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей M и крайними положениями образующей L) и ребро (линия пересечения смежных граней.

а) б) в)

Образующая

S – вершина M S

L L

L

M Ребро Грань

Грань

Рис. 12 Гранные поверхности

Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней называются многогранниками (рис. 13, а, б, в).

а) б) в)

Рис. 13 Правильные многогранники: а) гексаэдр – куб,

б) правильный четырехгранник - тетраэдр, в) октаэдр

Рассмотрим, как задаются и изображаются гранные поверхности и многогранники на комплексном чертеже (эпюре).

Пример 4. Построить эпюр трехгранной пирамиды с вершиной S и найти проекции точек K, N, M, принадлежащих ее граням и ребрам (рис. 14 а). Определить видимость.

В целях более четкого изображения линий построения профильной проекции трехгранной пирамиды, на рис. 14,б (решение задачи), линии связи, по которым строятся основание, вершина и ребра пирамиды на горизонтальной плоскости проекций, не показаны. На рис. 14,а стрелками на линиях связи указывается лишь направление, по которому определяется местоположение проекций соответствующих точек.

а) б)

Дано: Решение задачи:

s' s' s''

k' k''

m' n' b' m' 1′ n' b' b'' n'' m''

a a' a''

c' c' c''

c c

a b a 1 b

k m k n

s s

Рис. 14

Алгоритм решения задачи:

1.Для построения профильной проекции трехгранной пирамиды необходимо из каждой точки основания АВС и вершины S провести линии связи до пересечения их с биссекторной плоскостью (на горизонтальной плоскости проекций). Далее, продолжить линии связи до пересечения их между собой на профильной плоскости проекций.

2. Прежде, чем приступать к построению проекций точек K, M, N, необходимо проанализировать их принадлежность той или иной грани, ребру, стороне треугольного основания пирамиды.

· Точка М принадлежит ребру (АS), следовательно, ее горизонтальная проекция будет принадлежать горизонтальной проекции этого ребра

m′ (а′ s′) => m(а s).

· (·) N принадлежит стороне основания (АВ) =>n′ (a′ b′)

· (·) K грани SAB, следовательно, ее проекции будут одной из образующих поверхности. Поэтому, для построенияфронтальной проекции(·)к′, необходимо через горизонтальную проекцию (·)к провести образующую поверхности (s1), (через вершину (·)s до пересечения со стороной основания (ab).

3.По горизонтальной и фронтальной проекциям достроим их профильные проекции.

4.Видимость пирамиды определяется с помощью конкурирующих точек (см. раздел 2, С.17 в 1-ой части пособия).

Пример 5. Построить прямую шестигранную призму, если ее ребра и грани перпендикулярны профильной плоскости проекций, а основания параллельны ей. Найти недостающие проекции точек M, N, Kи определить видимость ребер и граней призмы (рис. 15).

Дано: m′ Решение задачи: m′′

2′≡3′ 2′′ ● 3′′

1′≡4′ n′ 1′′ 1′′

L′ 5′≡6′ k′ k

M • • K 5 ′′ 6′′

2 3 •N 1

1 4 2≡5

5 6 m •

3≡6 n k

4 L

Рис. 15

Алгоритм решения задачи:

1. По условию задачи основание призмы параллельно профильной плоскости проекций, следовательно, на эту плоскость шестиугольник будет проецироваться в натуральную величину, без искажения, а на две другие плоскости проекций в виде прямых линий, параллельных осям OZ, OY. Обозначим вершины основания точками 1′′,2′′,3′′,4′′,5″,6″ и найдем их горизонтальные и фронтальные проекции.

2. Определим положение точек M, N, К (их принадлежность граням и ребрам призмы) на профильной плоскости и обозначим профильные проекции (∙)m′′, (∙)n′′, (∙)k′′.

3. Ребра призмы перпендикулярны профильной плоскости проекций, следовательно, их фронтальные и горизонтальные проекции ребер будут проецироваться в виде отрезков прямых, параллельных оси ОХ и в натуральную величину (L).

4. Построим недостающие проекции граней шестигранной призмы на фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций, используя линии связи.

5. Определим положение фронтальных проекций (∙)m′, (∙)n′, (∙)k′ и по линиям связи достроим их горизонтальные проекции.

6. В связи с тем, что у прямой шестигранной призмы грани и ребра попарно параллельны и симметричны (относительно оси симметрии), их проекции будут конкурировать друг с другом (т.е. совпадать). Следовательно, видимые грани будут перекрывать невидимые (рис. 15).

Вопросы для самоконтроля

1.Какие поверхности называют многогранниками?

2. Какие многогранники называют правильными?

3. Назовите элементы гранных поверхностей.

4. Что называется поверхностью вращения?

5. Как строят недостающую проекцию точки и линии на кривой поверхности?

6.Какие поверхности вращения относятся к развертываемым?

Дата добавления: 2014-01-07