Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов и в случае, если векторы ненулевые, называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Если ненулевые векторы и коллинеарны и направлены в одну сторону, то угол между ними считается равным нулю, а если ненулевые векторы и коллинеарны, но имеют противоположное направление, то угол между ними считается равным .

Наконец, если ; или (или ), то скалярное произведение по определению считается равным нулю.

Из этого определения следует, что скалярный квадрат вектора , т.е. скалярное произведение равно квадрату модуля вектора .

В самом деле .

Отсюда , то есть модуль вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата.

Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1) коммутативность;

2) (ассоциативность относительно умножения на число);

3) (дистрибутивность относительно сложения).

Свойство 1) сразу следует из определения скалярного произведения.

Для доказательства свойств 2) и 3) заметим, что в силу теоремы 4 § 11 имеем.

(Теорема 4 § 11 состояла в следующем. Координата ортогональной проекции вектора на ось l равна длине АВ этого вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью l: .)

Итак, согласно теореме 4 § 11 имеем

.

Доказательство свойства 2): Имеем:

=

.

Доказательство свойства 3):

()=

=коорд.пр.коорд.пр.= .

Дата добавления: 2014-01-07