Объем ориентированного параллелепипеда

Параллелограммом АВСD называется совокупность граничных точек А, В, С, D двух равных между собой отрезков . Точки А, В, С, D называются вершинами параллелограмма АВDС, отрезки АВ, CD, АС, BD называются сторонами параллелограмма, а отрезки АD и ВС – его диагоналями. Если вершины А, В, С, D параллелограмма принадлежат одной прямой, то такой параллелограмм называется выраженным. Совокупность вершин двух параллелограммов АВDС и , симметричных друг другу относительно некоторой точки О, называется параллелепипедом. (Точки А, В, С, D симметричны точкам , относительно точки О). Вершины параллелограммов являются также и вершинами параллелепипеда. Отрезки - диагоналями параллелепипеда. Стороны параллелограммов АВDС; , а также отрезки - называются ребрами параллелепипеда. Гранями параллелепипеда называются параллелограммы: АВDС; ; ; ; ; .

Если вершины параллелепипеда принадлежат одной плоскости, то он называется вырожденным.

Параллелепипед однозначно определяется заданием трех его направленных ребер, выходящих из одной вершины, например:

.

Ориентированным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого упорядочены три ребра, выходящие из одной вершины. Ориентированный параллелепипед обозначатся круглыми скобками: , где - три его направленные ребра, выходящие из одной вершины и упорядоченные записью - первое ребро, - второе, - третье.

Замечание. Каждому ориентированному параллелепипеду можно поставить в соответствие ориентированный тетраэдр и обратно, всякий ориентированный тетраэдр ставится в соответствие и притом только одному ориентированному параллелепипеду . Так как всякий невырожденный тетраэдр можно ориентировать только двумя различными противоположными способами, то и всякий невырожденный параллелепипед можно также ориентировать только двумя противоположными способами.

Пространство, в котором введен невырожденный ориентированный параллелепипед (базисный параллелепипед) называется ориентированным.

Будем говорить, что невырожденный ориентированный параллелепипед П имеет положительную ориентацию, если он одинаково ориентирован с базисным параллелепипедом; если же эти параллелепипеды имеют противоположные ориентации, то параллелепипед П имеет отрицательную ориентацию.

Определение. Объемом невырожденного ориентированного параллелепипеда , находящегося в ориентированном пространстве, называется число, равное по абсолютной величине объему параллелепипеда с ребрами , положительное, если упорядоченная тройка направленных ребер имеет положительную ориентацию, и отрицательное, если упорядоченная тройка имеет отрицательную ориентацию.

Объем вырожденного ориентированного параллелепипеда считается равным нулю.

Поставим в соответствие упорядоченной тройке направленных отрезков упорядоченную тройку векторов:

.

Имеется бесконечное множество ориентированных параллелепипедов, каждому из которых ставится в соответствие та же упорядоченная тройка векторов. Эти ориентированные параллелепипеды получаются всеми переносами любого из них и имеют, поэтому один и тот же объем; этот объем мы будем обозначать и говорить, что это объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах (взятых в этом порядке).

Объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах обладает следующими свойствами:

1) (т.е. от круговой перестановки множителей он не меняется, а при нарушении кругового порядка множителей меняет знак, сохраняя абсолютную величину),

2) (дистрибутивность),

3) (ассоциативность по отношению к числу ).

Доказательство. Для доказательства свойства (1) достаточно только заметить, что упорядоченная тройка некомпланарных векторов не меняет ориентации при круговой перестановке этих векторов и меняет ориентацию при нарушении кругового порядка.

Для доказательства свойств (2) и (3) докажем предварительно следующую лемму.

Лемма. Объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах , равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и , умноженной на координату ортогональной проекции вектора на ось l, единичный вектор которой перпендикулярен к векторам и , и, в случае, если векторы и неколлинеарны, направлен так, что тройка векторов имеет положительную ориентацию:

(4)

Доказательство. Предположим, что векторы некомпланарны. Отложим векторы от одной и той же точки О:

.

Тогда величина координаты проекции вектора на вектор будет высотой параллелепипеда с ребрами ОА, ОВ и ОС, а значит , так как и и равны объему параллелепипеда с ребрами ОА, ОВ, ОС.

В случае, если векторы компланарны, соотношение (4), очевидно, также выполняется (0=0). Лемма доказана.

Теперь свойства (2) и (3) доказываются так:

Доказательство свойства (2):

(+)=

= + =+.

Доказательство свойства (3):

=()=

==.

Дата добавления: 2014-01-07