Объем тетраэдра

Объем ориентированного параллелепипеда в координатах.

Ориентируем пространство ортонормированным базисом . Пусть относительно этого базиса заданы три вектора своими координатами

; ; .

В силу того, что объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах , обладает свойствами дистрибутивности и ассоциативности по отношению к умножению любого множителя на число (свойства (2) и (3) § 42), правая часть последнего равенства может быть представлена в виде суммы 27 слагаемых (3*3*3=27):

В этой сумме произведений обратятся в нуль все те, которые образованы тремя компланарными векторами. Останется

и так как

то: ,

или

.

Если в пространстве относительно декартовой прямоугольной системы координат заданы четыре точки:

то объем ориентированного параллелепипеда с ребрами , , вычисляется по формуле:

.

Доказательство следует из формулы и того обстоятельства, что

,

,

.

Следствие. Объем ориентированного тетраэдра (см § 15) вычисляется по формуле

.

Задачи по Клетенику: №№ 821-838.

Дата добавления: 2014-01-07