Моменты инерции твердого тела. Радиус инерции

При поступательном движении твердого тела, так же как и при движении материальной точки, мерой его инертности является масса тела. При вращательном движении твердого тела мерой инертности является момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

Поэтому до исследования различных видов движения твердого тела следует рассмотреть вычисление моментов инерции твердых тел и установить основные теоремы о моментах инерции, имеющие важное значение в динамике твердого тела.

Для установления понятий моментов инерции твердого тела относительно плоскости, оси и полюса проведем через произвольную точку О три взаимно перпендикулярные координатные оси х, у, z и изобразим координатные плоскости уОz, zОх и хОу (рис. 77). Рассмотрим заданное твердое тело как множество материальных точек M_l(i= 1, 2, 3,..., п).

Моментом инерции твердого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до плоскости. Рис.77.↓

Для определения моментов инерции тела относительно координатных плоскостей опустим из каждой точки тела Mi перпендикуляры на плоскости уОz, zОх, хОу:

Обозначим моменты инерции твердого тела относительно координатных

плоскостей ,, :

,, (34.1)

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.

Для определения моментов инерции твердого тела относительно координатных осей опустим из каждой точки тела на оси х, у, z перпендикуляры . Квадраты этих перпендикуляров

Обозначим моменты инерции твердого тела относительно координатных осей :

. (34.2)

Моментом инерции твердого тела относительно полюса (полярным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до этого полюса.

Обозначим - момент инерции твердого тела относительно полюса О:

. (34.3)

Между моментами инерции твердого тела относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат существуют следующие зависимости:

(34.4)

откуда , (34.5)

(34.6)

Эти зависимости используются при вычислении моментов инерции твердых тел.

Момент инерции твердого тела относительно заданной оси, например оси z, можно представить в виде произведения массы тела на квадрат линейной величины, называемой радиусом инерции тела относительно этой оси:

(34.7)

где т — масса тела; i_z — радиус инерции тела относительно оси z.

Формула (34.7) показывает, что радиус инерции i_z определяет расстояние от оси z до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу m. тела, чтобы момент инерции точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела. Момент инерции твердого тела относительно оси как сумма положительных слагаемых всегда положителен и не может равняться нулю.

Единицей момента инерции в системе МКС является 1 кг ∙ м², а в системе СГС—1 г∙см². В технической системе единиц МКГСС за единицу момента инерции принимается 1 кгс∙м∙с².

Дата добавления: 2014-01-07