Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма (теорема о нулях производной)	Геометрическая интерпретация теоремы Ферма
Если функция определена на интервале и принимает в некоторой точке этого интервала наибольшее (или наименьшее) значение и существует производная, тогда она равна нулю, т.е. .	Если функция в точке принимает наибольшее (или наименьшее) значение и дифференцируема в этой точке, то касательная к графику этой функции в точке с абсциссой параллельна оси Ox.

Доказательство. Рассмотрим окрестность точки , в которой определена функция. Предположим для определенности, что функция в точке принимает наибольшее значение. Тогда для всех выполняется неравенство , при этом

если , то (так как числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки), т.е. ;

если , то (так как числитель и знаменатель имеют разные знаки), т.е. .

По условию теоремы функция в точке имеет производную, т.е. существуют равные односторонние пределы:

.

Равенство возможно только в том случае, когда односторонние пределы равны нулю, но тогда равен нулю и общий предел, т.е. производная. Таким образом .

Если функция в точке принимает наименьшее значение, то доказательство проводится аналогично с заменой знаков неравенств на противоположные. Теорема доказана.

Теорема Роля (о корнях производной)	Геометрическая интерпретация теоремы Ролля
Пусть функция 1) непрерывна на ; 2) дифференцируема на ; 3) принимает равные значения на концах отрезка: Тогда существует хотя бы одна точка в которой производная функции равна нулю, т.е.	Если функция непрерывна на , дифференцируема на и принимает равные значения на концах отрезка, то найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику в точке с абсциссой , параллельна оси Ox.

Доказательство. Поскольку непрерывна на (по первому условию теоремы), то по теореме Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свое наибольшее М и наименьшее m значение. Рассмотрим два возможных случая:

1. . Тогда функцияна отрезке сохраняет постоянное значение. А производная постоянной функции равна нулю и, таким образом, для всех точек производная

2. . Поскольку по условию теоремы то по крайней мере одно из значений М или m функция принимает в некоторой точке . А согласно теореме Ферма Теорема доказана.

Теорема Коши (об отношении приращений двух функций)

Пусть функции и 1) непрерывны на ; 2) дифференцируемы на , причем Тогда существует хотя бы одна точка , такая, то справедлива формула

Доказательство. Сначала отметим, что обе части формулы (6.7) имеют смысл, т.е. знаменатели дробей в обеих частях не равны нулю. В правой части по условию теоремы, т.к. . В левой части имеем: поскольку в противном случае получили бы , но по теореме Ролля существовала бы точка в которой , что противоречит условию теоремы Коши.

Рассмотрим на вспомогательную функцию

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля. Действительно,

непрерывна на , как разность непрерывных функции и .

дифференцируема на , т.к. имеет конечную производную, равную

принимает равные значения на концах отрезка:

Применяя теорему Ролля к функции , заключаем, что существует такая точка , что , т.е. откуда получаем или Теорема доказана.

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)	Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа
Пусть функция : 1) непрерывна на ; 2) дифференцируема на . Тогда существует хотя бы одна точка , такая, то справедлива формула	Если функция непрерывна на , дифференцируема на , то на графике функции найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику в точке с абсциссой , параллельна хорде АВ.

Доказательство. Рассмотрим на вспомогательную функцию

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля. Действительно,

1) непрерывна на , как линейная комбинация непрерывной функции .

2) дифференцируема на , т.к. имеет конечную производную, равную

3) принимает равные значения на концах отрезка:

Применяя теорему Ролля к функции , заключаем, что существует такая точка , что , т.е. откуда получаем Теорема доказана.

Иногда равенство Лагранжа записывают в виде

где .

Замечание 1. Теорема Лагранжа имеет важный физический смысл: существует хотя бы одна точка внутри отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на всем отрезке.

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши называют теоремами о средних значениях.

Дата добавления: 2014-01-07