Центр тяжести площадей

Во многих задачах приходится определять центры тяжести различных сочетаний тел, представляющих собой геометрические плоские фигуры иногда сложной формы. Рассмотрим плоскую однородную пластинку (рис.5). Вес каждой ее части будет пропорционален площади, т.е.

где у' - вес одного квадратного метра; F_i - площадь однородной пластинки.

Рис. 5

Тогда координаты центра тяжести тела можно записать:

Вынося у' за знак суммы в числителе и знаменателе как величины постоянные для данного тела и производя сокращение, получим формулы для определения координат центра тяжести плоской фигуры в ее плоскости, т.е.

где F_i - площади отдельных частей фигуры;

x_i, у_i, - координаты центров тяжести этих частей.

Произведение части площади F, фигуры на расстояние от центра тяжести до какой-либо оси называется статическим моментом этой части площади относительно данной оси. Так статический момент S_i площади F_i относительно оси х будет S_ix = F_i y_i, а относительно оси у будет S_ix = F_i x_i.

Сумма статических моментов всех частей фигуры называется статическим моментом площади фигуры относительно данной оси:

Статический момент площади выражается единицами длины в третьей степени: м³, см³, мм³.

Координаты центра тяжести плоской фигуры можно выразить через статические моменты площадей. В общем виде, если какая-либо сложная фигура, площадь которой равна F = Σ F₁ , разделена на несколько простых частей, то:

Если начало координат расположить в центре тяжести площади, то статические моменты относительно осей х и у, проходящих через центр тяжести, будут равны нулю, так как в этом случае у_с = 0 и х_с = 0.

Следовательно, статический момент плоской фигуры относительно любой центральной оси равен нулю.

Приведем определение координат центров тяжести некоторых фигур, наиболее часто встречающихся при решении задач.

Центр тяжести параллелограмма, прямоугольника, квадрата, ромба совпадает с точкой С пересечения диагоналей (рис. 6, а).

Рис. 6

Центр тяжести треугольника лежит в точке С пересечения медиан, а ее высота находится на расстоянии lз высоты от основания (рис. 6, б). Положение центра тяжести сектора круга (рис. 6, в) определяется по формуле

где а - центральный угол сектора, рад.

При

(полукруг)

Положение центра тяжести сегмента (рис. 20, г) определяется по формуле

При

сегмент превращается в полукруг.

При решении задач на нахождение центра тяжести фигуры с отверстиями и другими пустотами различной формы их площади необходимо считать отрицательными.

Пример 1.

Определить положение центра тяжести плоской фигуры с полукруглыми и треугольным отверстиями, изображенной на рис. 21. Размеры фигуры в миллиметрах указаны на чертеже.

Рис. 21

Решение.

Разбиваем фигуру на три части: прямоугольник I со сторонами 400 х 500 мм; полукруг II и треугольник III, -причем площади полукруга и треугольника будем считать отрицательными. Выбираем оси координат, как показано на рисунке. Вычисляем координаты центров тяжести и площади отдельных частей фигуры:

Дата добавления: 2014-01-07