Центр тяжести

Центр параллельных сил и его координаты. Любое тело можно рассматривать как состоящее из элементарных частиц, на которые действуют силы тяжести. Все эти силы направлены к центру Земли по радиусу. Так как размеры тел, с которыми приходится иметь дело в технике, ничтожно малы по сравнению с радиусом Земли (около 6371 км), то можно считать, что приложенные к частицам силы тяжести параллельны и вертикальны. Следовательно, силы тяжести отдельных частиц тела образуют систему параллельных сил. Равнодействующая этих сил называется силой тяжести.

Установим одно важное свойство точки приложения равнодействующих двух параллельных сил.

Рис. 1.

Пусть в точках А и В (рис. 1) на тело действуют параллельные силы Р и Q. Равнодействующая этих сил равна их сумме, параллельна им, направлена в ту же сторону, а ее линия действия делит прямую АВ на части, обратно пропорциональные этим силам, т.е.

Повернем силы Р и Q на произвольный угол а, т.е. изменим их направление, сохранив их параллельность. При этом равнодействующая R останется равной их сумме,

параллельной им, направленной в ту же сторону, а линия ее действия опять поделит прямую АВ на части, обратно пропорциональные величинам заданных сил Р и Q. Точкой С обозначено пересечение линии действия равнодействующей с линией АВ, соединяющих точки приложения составляющих сил. Эта точка называется центром параллельных сил, т.е. положение не зависит от направления прилагаемых сил.

Центр параллельных сил тяжести, действующих на все элементарные частицы тела, называется центром тяжести тела. Так как центр параллельных сил остается неизменным независимо от направления сил, то центр тяжести тела не меняет своего положения при повороте тела.

Выведем формулы, позволяющие определять положение центра любой системы параллельных сил.

Пусть задана система параллельных сил Р₁ ,Р₂ ,Р₃ ...,Р _n; координаты точекС₁ , С₂ , С₃...,С_n приложения этих сил известны (рис. 2). Обозначим точку приложения равнодействующей R буквой С, а координаты этой точки, являющейся центром заданных параллельных сил, обозначим х_с и у_с. Как известно:

Рис. 2.

Если среди заданных параллельных сил имеются силы противоположных направлений, то они будут иметь различные знаки. Так как положениецентра параллельных сил не зависит от их направления, повернем все заданные силы на угол а по часовой стрелке так, чтобы они стали параллельны оси у. Равнодействующая R при этом также повернется на угол а в ту же сторону.

Применяя теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) относительно начала координат, получим

откуда

Подставляя в данную формулу значение равнодействующей R, получим:

Поворачивая по аналогии заданные силы против хода часовой стрелки на угол (90 - а) так, чтобы они стали параллельны оси х и, пользуясь теоремой о моменте равнодействующей, получим формулу для координаты у_с центра параллельных сил:

Координаты центра пространственной системы параллельных сил определяются по формулам:

Приведенные формулы используют при вычислении координат центра тяжести тела, причем под pi подразумеваются силы тяжести отдельных частей тела, а под х_с , у_с , z_c - координаты их центров тяжести.

Центр тяжести симметричного тела лежит в плоскости симметрии. Плоскостью симметрии называется плоскость, разделяющая тело так, что каждой материальной точке, находящейся по одну сторону плоскости, соответствует равная ей по массе точка по другую сторону, причем линия, соединяющая эти точки, перпендикулярна плоскости симметрии и делится ею пополам. На этом основании центр тяжести отрезка прямой линии находится в его середине. Центр тяжести плоской симметричной фигуры - тонкой однородной пластинки - лежит на оси симметрии, т.е. на линии уу, делящей фигуру на две равных части (рис. 3).

Наличие осей симметрии в однородном теле облегчает определение положения его центра тяжести. Так, центр тяжести призмы и цилиндра лежит на середине линии, соединяющей центры тяжести оснований. Центр тяжести шара совпадает с его геометрическим центром. Центр тяжести пирамиды (рис. 4, а) лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади основания с противоположной вершиной на расстоянии 1/4 высоты от основания. Центр тяжести конуса лежит на прямой, соединяющей центр основания с вершиной на расстоянии 1/4 высоты от основания (рис. 4, б).

Рис. 3.

Рис. 4.

Дата добавления: 2014-01-07