П. 4.1. Определение предикатов и логические операции над ними

Лекция 4. Логика предметов.

Логика предикатов – это расширение возможности логики высказываний, позволяющее строить высказывания с учетом свойств изученных объектов или отношений между ними.

Определение 4.1. Одноместным предикатом называется произвольная функция переменной х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества .

Если в вместо х подставить конкретный изученный объект а, то получится высказывание, принадлежащее алгебре высказываний, т.е. или .

Множество М, на котором определен предикат , называется областью определения предиката. Множество всех , при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката , т.е. .

Пример 1:

На множестве задан предикат : «х – простое число». .

Пример 2:

Предикат : «Диагонали параллелограмма перпендикулярны», – определен на множестве истинности – это множество всех ромбов.

Определение 4.2. Предикат , определенный на множестве М, называется тождественно истинным, если , и тождественно ложным, если .

Пример 3:

1) Пусть , : «» является тождественно истинным, так как .

2) , : является тождественно ложным, так как .

Обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предикатами, например, , где – двуместный предикат .

Определение 4.3. n -местным предикатом называется всякая функция n переменных , определенная на множестве (декартово произведение) и принимающее на этом множестве одно из двух значений: «истина» или «ложь».

n -местный предикат есть функция , где М – произвольное множество, а .

Определение 4.4. Предикат является следствием предиката , если .

Определение 4.5. Предикаты и равносильны , если .

Пример 4:

1) Предикат : является следствием предиката : на множестве действительных чисел, так как.

2) Предикаты : и на множестве действительных чисел являются равносильными, так как ; .

Логические операции над предикатами.

Пусть имеется два предиката и , определенные на множестве М.

Определение 4.6. Конъюнкцией двух предикатов и , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката является .

Пример 5:

, : , : , : .

Определение 4.7. Дизъюнкцией двух предикатов и , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката является .

Пример 6:

Для предикатов из примера 5 : "число х четное или кратно 3".

Определение 4.8. Отрицанием предиката называется новый предикат , который принимает значение «истина» при всех значениях , при которых принимает значение «ложь» и наоборот.

В этом случае .

Пример 7:

: , тогда : .

Определение 4.9. Импликацией и называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно принимает значение «истина», а – значение «ложь», и принимает истинное значение во всех остальных случаях.

В этом случае .

Пример 8:

: " х – делится на 6", : " х – кратно 3", тогда : " если х делить на 6, то х кратно 3".

Пример 9:

Найти область истинности предиката и изобразить на плоскости.

Решение:

Неравенство, составляющее исходный предикат, ограничивает часть плоскости, заключенной между ветвями .

Дата добавления: 2014-01-07