Модель, основанная на мультиномиальном распределении числа аварий (пуассоновское приближение)

Предположим, что проводится «» - независимых испытаний (например «» – год, а одно испытание – это то, что случится в конкретно взятый день).

Предположим, что в каждом испытании может произойти одно из событий, то есть

Графически это можно изобразить следующим образом:

Am
·…
Ak
….	::
A1	::
A0	:::

1 2 k n t

Множество - интервал, в который попадает величина иска при аварии, то есть если - величина иска в «» – ый день года находится в пределах от до,.

Пусть - множество, при попадании в которое величина иска не принимается к рассмотрению, (например), где d – франшиза. При попадании величины иска во множество клиенту выплачивается, например, средняя сумма -. Пусть вероятности попаданий во множества соответственно равны:

Очевидно, что.

Пусть - число попаданий исков соответственно во множества тогда очевидно, что. Это означает, что раз было попаданий во множество A₀, раз величины исков попали во множество, то есть находились в пределах от до, и так далее, и, наконец, раз иски принадлежали множеству. Используя формулу мультиномиального распределения, найдем вероятность такого исхода за “год” (за срок “ n ”), она будет равна:

, где.

Как и раньше, будем считать, что если клиент в течение срока “ n ” ни разу не обращался в страховую компанию, то ему в конце срока возвратят цену страхового полиса с процентами. Это будет величина, где - процентная ставка за период страхования.

На рисунке этот случай изображается как

Am
: :
A0

0 1 2 k n

t

то есть величины исков в первом испытании (в первый день года), и во втором и во всех последующих находились в пределах от 0 до d, что означает, что страхователи не предъявляли иски страховой компании.

Тогда выплата компании конкретному i – ому клиенту будет равна

, (1)

здесь - индикатор события А.

Предположим сначала, что достаточно велико (например, = 365, что с точки зрения предельных теорем теории вероятностей является достаточно большим числом).

Предположим также, что вероятности - малы, а именно сравнимы с, то есть, тогда нетрудно показать, что

, (2)

.

Действительно в силу того, что сравнимо с имеем

где при. Тогда с учетом формулы Стирлинга, имеем

,

.

Действительно,

так как

.

Далее, в силу того, что

а при, то есть.

Окончательно имеем

или

, (3)

, то есть - последовательности независимых пуассоновских величин с параметрами что и требовалось доказать.

В силу сказанного нетрудно убедиться в существовании предела (в смысле сходимости по распределению) величины. Пусть, тогда

(4)

Вычислим и. Воспользуемся представлением (4) для подсчета соответствующей суммы. Так как

то

Таким образом, при большом “ n ” средние выплаты - ому клиенту за период страхования в “ n ” дней равны

(5)

Вычислим дисперсию величины. Воспользуемся формулой

.

В силу представления (4) имеем

.

Найдем

здесь мы воспользовались тем свойством биномиального распределения, в силу которого

.

В силу того, что для пуассоновского распределения с параметром:, имеем

Далее

а в силу того, что, имеем

Таким образом

Отсюда с учётом (5) имеем

Таким образом, при большом “ ” дисперсия выплаты -ому клиенту за период страхования в “ ” дней равна

(6)

Найдем цену страхового полиса – с. Вероятность разорения компании, очевидно равна

,

где - начальный капитал компании, - число застрахованных клиентов, - малое число. Решая уравнение

,

- здесь

,

находим, тогда

.

Откуда

.

Таким образом, в качестве цены страхового полиса можно взять величину найденную из этого уравнения. Напомним, что и, то есть необходимо решить относительно неизвестной “ с ” уравнение

(7)

Как нетрудно заметить, после возведения во вторую степень из (7) получается квадратное уравнение относительно неизвестной, так что при конкретных

трудностей с нахождением не предвидится.

Дата добавления: 2014-01-07