Модель Лундберга. Мартингальный вывод неравенства

ТЕМА 3. МОДЕЛИ ЛУНДБЕРГА

Пусть случайная величина страховых требований, поступивших в страховую компанию на интервале имеет вид

.

Здесь случайные величины – величины последовательных страховых требований, а – число требований, поступивших в промежутке.

Будем предполагать, что независимы, одинаково распределены с функцией распределения, причем и

Относительно процесса предполагается, что он пуассоновский, не зависит от и имеет интенсивность, то есть.

В данных предположениях имеем, что среднее значение вычисляется по формуле:

Пусть – начальный капитал компании,

– текущий доход компании, интерпретируется как коэффициент нагрузки, то есть предполагается, что клиенты платят «чуть» больше, чем возможный средний ущерб.

Текущий капитал страховой компании, то есть доход за вычетом страховых выплат, описывается случайным процессом вида

.

Величину часто называют относительным коэффициентом нагрузки.

Процесс рассматривается на некотором временном интервале. Считаем, что цель компании умеренна – минимизировать, насколько возможно, вероятность разорения.

Пусть

а – решение уравнения вида

Лундбергом получено неравенство вида:

Это неравенство носит название неравенства Лундберга.

Докажем его мартингальными методами, опираясь на неравенство Колмогорова.

Так как последовательность событий

является сужающейся последовательностью множеств, то эта последовательность имеет предел

,

причём

тогда

Здесь – корень уравнения

Докажем, что случайный процесс

– мартингал относительно семейства -алгебр

Учитывая, что процесс – процесс с независимыми приращениями, так как число поступлений требований и величины исков, произошедшие на промежутке времени, не зависят от того, что происходило на промежутке. Таким образом, получаем

Действительно, величина

является -измеримой, поэтому ее вынесли из-под знака математического ожидания, в силу независимости приращений условное математическое ожидание превратилось в безусловное, а

Воспользовавшись неравенством Колмогорова, имеем

Нетрудно также показать, что

Действительно,

Таким образом,, и неравенство Лундберга доказано.

Платежеспособность страховой компании. Пусть на вероятностном пространстве заданы следующие независимые объекты: – пуассоновский с интенсивностью, последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием и функцией распределения, - интерпретируется как размер выплат страховой компании клиентам. Число выплат за временной промежуток описывается пуассоновским процессом. Кроме того, компания получает страховые взносы от клиентов с интенсивностью (– некоторая положительная постоянная). Начальный капитал равен. При таком описании капитал компании имеет вид

.

Процесс риска в данном случае, и в силу независимости и имеем, что Премии, собранные к моменту, – линейная функция времени. Выбирая коэффициент нагрузки получаем скорость поступления премий

Найдем вероятность неразорения

.

Сначала найдем условия дифференцируемости функции, предполагая, что имеет плотность. Поскольку разорение не может произойти до первого скачка пуассоновского процесса, то можно записать

,

где – плотность распределения. Заменой переменных последнее выражение приводится к виду:

Следовательно, если то Далее предполагаем, что. По формуле полной вероятности и свойству ординарности пуассоновского процесса

Член в первом слагаемом правой части разложим по формуле Тейлора:

Разделим обе части последнего равенства на, устремим к нулю и получим, что

.

Для случая экспоненциально распределенных выплат решение данного интегрально-дифференциального уравнения выписываем в явном виде. Действительно, подстановкой

.

Продифференцируем обе части этого уравнения, затем выполним интегрирование по частям и получим

где вместо интеграла в квадратных скобках подставлено его выражение через исходное интегрально-дифференциальное уравнение.

Таким образом, приходим к дифференциальному уравнению

точное решение которого ищется, как известно, в виде

,

где и – константы.

Неравенство отражает положительность коэффициента нагрузки и, следовательно,

Неизвестные константы и можно найти из следующих соотношений:

1.

2. Из равенства при вытекает, что

Таким образом, приходим к следующему явному выражению для вероятности неразорения

В случае произвольного распределения выплат получение аналитического выражения для затруднительно, и поэтому для вероятности разорения находят различные оценки (сверху и снизу).

Дата добавления: 2014-01-07