Суждение об устойчивости линейной системы по коэффициентам характеристического полинома

Вследствие трудности определения корней характеристического полином для и не конструктивности прямых (корневых) методов анализа устойчивости (неясно, что нужно сделать, чтобы неустойчивую систему сделать устойчивой). Широкое применение получили косвенные методы анализа устойчивости – критерии устойчивости:

1. алгебраические (Столье, Гурвица, Льенара-Шинара и др.);

2. частотные (Найквиста, Михайлова);

Теорема 21.1. Необходимый критерий устойчивости Столье. Пусть система порядка имеет характеристический полином (21.1)

Если система асимптотически устойчива, то все коэффициенты в (21.1) устойчивы: для всех .

Доказательство: пусть система асимптотически устойчива, тогда согласно теореме (20.2) все корни левые, т.е. или . Полагая, что в (21.1) .

Следовательно, для всех , что и требовалось доказать.

Невыполнение условия теоремы означает отсутствие асимптотической устойчивости (доказывается от противного). Выполнение условия теоремы не означает не асимптотической устойчивости и не устойчивости по Ляпунову. В силу необходимого характера теоремы (21.1). Если среди хотя бы один отрицателен, то система неустойчива, поскольку это может означать апериодическую границу устойчивости. Если система находится на апериодической границе устойчивости, то . Действительно:

даёт корень

Гурвицев полином имеет только левые корни.

Если равен нулю какой-нибудь другой из коэффициентов, то система неустойчива. Исключение система порядка колебательная граница устойчивости.

Теорема 21.2. Для систем и порядка положительность коэффициентов характеристического полинома является не только необходимым, но и достаточным условием асимптотической устойчивости.

Доказательство: непосредственный анализ вещественных частей характеристического полинома.

Дата добавления: 2014-01-07