Тема 1: фильтрация одномерных сигналов

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Первый натиск и первые крики решают дело.

Тит Ливий (Римский историк)

Роль крика в драке - существенный вклад в теорию конфликтов. Но имеет ли он такое же значение при фильтрации данных - не очевидно, как и его место. Лично я предпочитаю воплем завершать этот процесс, а не начинать.

Эдуард Павелко (Новосибирский геофизик)

Содержание: 1.1. Введение. 1.2. Цифровые фильтры. Нерекурсивные фильтры. Рекурсивные фильтры. 1.3. Импульсная реакция фильтров. Функция отклика. Определение импульсной реакции. 1.4. Передаточные функции фильтров. Z-преобразование. Устойчивость фильтров. 1.5. Частотные характеристики фильтров. Общие понятия. Основные свойства. 1.6. Фильтрация случайных сигналов. Математическое ожидание. Корреляционные соотношения. Спектр мощности выходного сигнала. Дисперсия выходного сигнала. Усиление шумов. Функция когерентности. 1.7. Структурные схемы цифровых фильтров. Структурные схемы. Графы фильтров. Соединения фильтров. Схемы реализации фильтров. Обращенные формы.Литература.

1.1. Введение.

Предмет цифровой фильтрации данных (сигналов) является естественным введением в широкую и фундаментальную область цифровой обработки информации. Под фильтрацией будем понимать любое преобразование информации (сигналов, результатов наблюдений), при котором во входной последовательности обрабатываемых данных целенаправленно изменяются определенные соотношения (динамические или частотные) между различными компонентами этих данных.

К основным операциям фильтрации информации относят операции сглаживания, прогнозирования, дифференцирования, интегрирования и разделения сигналов, а также выделение информационных (полезных) сигналов и подавление шумов (помех).

Как известно, преобразование динамики сигналов (и данных, которые несут эти сигналы) осуществляется в системах. Соответственно, фильтры с любым целевым назначением являются частным случаем систем преобразования сигналов, в рамках теории которых они и будут рассматриваться.

В настоящем курсе рассматриваются, в основном, методы линейной обработки данных (носителей этих данных - сигналов) линейными дискретными системами. Линейными называют системы, которые осуществляют преобразование линейных комбинаций входных сигналов в суперпозицию выходных сигналов. Принцип реализации линейных систем, физический - в виде специальных микропроцессорных устройств, или алгоритмический - в виде программ на ЭВМ, существенного значения не имеет и определяет только их потенциальные возможности.

1.2. Цифровые фильтры /л2,л24/.

Общие понятия. В одномерной дискретной линейной системе связь между входом и выходом (входной и выходной дискретными последовательностями значений сигнала – отсчетами), задается линейным оператором преобразования TL:

y(kDt) = TL{x(kDt)}.

Это выражение отображает краткую запись линейного разностного уравнения:

a_m y(kDt-mDt) =b_n x(kDt-nDt), (1.2.1)

где k = 0,1,2,..- порядковый номер отсчетов, Dt - интервал дискретизации сигнала, a_m и b_n - вещественные или, в общем случае, комплексные коэффициенты. Положим a₀ = 1, что всегда может быть выполнено соответствующей нормировкой уравнения (1.2.1), и, принимая в дальнейшем Dt = 1, приведем его к виду:

y(k) = b_n x(k-n) –a_m y(k-m). (1.2.2)

Оператор, представленный правой частью данного уравнения, получил название цифрового фильтра (ЦФ), а выполняемая им операция - цифровой фильтрации данных (информации, сигналов). Если хотя бы один из коэффициентов a_m или b_n зависит от переменной k, то фильтр называется параметрическим, т.е. с переменными параметрами. Ниже мы будем рассматривать фильтры с постоянными коэффициентами (инвариантными по аргументу).

Нерекурсивные фильтры. При нулевых значениях коэффициентов a_m уравнение (1.2.2) переходит в уравнение линейной дискретной свертки функции x(k) с оператором b_n:

y(k) = b_n x(k-n). (1.2.3)

Значения выходных отсчетов свертки (1.2.3) для любого аргумента k определяются текущим и "прошлыми" значениями входных отсчетов. Такой фильтр называется нерекурсивным цифровым фильтром (НЦФ). Интервал суммирования по n получил название "окна" фильтра. Окно фильтра составляет N+1 отсчет, фильтр является односторонним каузальным, т.е. причинно обусловленным текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала, и выходной сигнал не опережает входного. Каузальный фильтр может быть реализован физически в реальном масштабе времени. При k<n, а также при k<m для фильтра (1.2.2), проведение фильтрации возможно только при задании начальных условий для точек x(-k), k = 1,2,..,N, и y(-k), k = 1,2,..,M. Как правило, в качестве начальных условий принимаются нулевые значения или значения отсчета х(0), т.е. продление отсчета x(0) назад по аргументу.

При обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности снимается. В программном распоряжении фильтра могут находиться как "прошлые", так и "будущие" значения входной последовательности отсчетов относительно текущей точки вычислений k, при этом уравнение (1.2.3) будет иметь вид:

y(k) =b_n x(k-n). (1.2.4)

При N' = N фильтр называется двусторонним симметричным. Симметричные фильтры, в отличие от односторонних фильтров, не изменяют фазы обрабатываемого сигнала.

Техника выполнения фильтрации не отличается от техники выполнения обычной дискретной свертки двух массивов данных.

Рис. 1.2.1. Нерекурсивный ЦФ.

Представим, что на одной полоске бумаги выписаны по порядку сверху вниз значения данных x(k) ≡ s_k (см. рис. 1.2.1). На второй полоске бумаги находятся записанные в обратном порядке значения коэффициентов фильтра b_n ≡ h_n (обозначение h для коэффициентов операторов НЦФ является общепринятым). Для вычисления y_k ≡ y(k) располагаем вторую полоску против первой таким образом, чтобы значение h₀ совпало со значением s_k, перемножаем все значения h_n с расположенными против них значениями s_k-n и суммируем все результаты перемножения. Результат суммирования является выходным значением сигнала y_k. Сдвигаем окно фильтра - полоску коэффициентов h_k, на один отсчет последовательности s_k вниз (или массив s_k сдвигаем на отсчет вверх) и вычисляем аналогично следующее значение выходного сигнала, и т.д.

Описанный процесс является основной операцией цифровой фильтрации и называется сверткой в вещественной области массива данных x(k) с функцией (оператором) фильтра b_n (массивом коэффициентов фильтра). Для математического описания наряду с формулами (1.2.3-1.2.4) применяется также символическая запись фильтрации:

y(k) = b(n) _* x(k-n).

Сумма коэффициентов фильтра определяет коэффициент передачи (усиления) средних значений сигнала в окне фильтра и постоянной составляющей в целом по массиву данных (с учетом начальных и конечных условий). Как правило, сумма коэффициентов фильтра нормируется к 1.

Имеется целый ряд методов обработки данных, достаточно давно и широко известных, которые по существу относятся к методам цифровой фильтрации, хотя и не называются таковыми. Например, методы сглаживания отсчетов в скользящем окне постоянной длительности. Так, для линейного сглаживания данных по пяти точкам с одинаковыми весовыми коэффициентами используется формула:

y_k = 0.2(x_k-2+x_k-1+x_k+x_k+1+x_k+2).

С позиций цифровой фильтрации это не что иное, как двусторонний симметричный нерекурсивный цифровой фильтр:

y_k =b_n x_k-n, b_n = 0,2. (1.2.5)

Аналогично, при сглаживании данных методом наименьших квадратов (МНК) на основе кубического уравнения:

y_k = (-3x_k-2+12x_k-1+17x_k+12x_k+1-3x_k+2)/35. (1.2.6)

Это также НЦФ с коэффициентами: b₀ = 17/35, b₁ = b_-1 = 12/35, b₂ = b_-2 = -3/35.

Пример. Уравнение НЦФ: y_k =b_n x_k-n, b_n = 0,2. Начальные условия - нулевые.

Входной сигнал – скачок функции (ступень): x_k = {0,0,0,0,0,0,10,10,10,10,…}.

Выходной сигнал: y_k = {0,0,0,0,2,4, 6, 8,10,10,10,10,…}.

Результат фильтрации приведен на рис. 1.2.2(А). Проверьте результат (выполните фильтрацию, как это показано на рис. 1.2.1, с учетом четности фильтра).

Заметим: сумма коэффициентов сглаживающих НЦФ всегда должна быть равна 1, при этом сумма значений массива выходного сигнала равна сумме значений массива входного сигнала. Координатная детальность выходного сигнала ниже входного, резкие изменения входных сигналов "размазываются" по аргументу.

Повторите фильтрацию фильтром МНК на основе кубического уравнения. Сравните результаты фильтрации с результатами первого НЦФ (приведены на рис. 1.2.2(В)).

Рис. 1.2.2. Сглаживание МНК в скользящем окне по пяти точкам

Для операции фильтрации характерны следующие основные свойства:

1. Дистрибутивность: h(t) _* [a(t)+b(t)] = h(t) _* a(t)+h(t) _* b(t).

2. Коммутативность: h(t) _* a(t) _* b(t) = a(t) _* b(t) _* h(t).

3. Ассоциативность: [a(t) _* b(t)] _* h(t) = h(t) _* a(t) _* b(t).

Фильтрация однозначно определяет выходной сигнал y(t) для установленного значения входного сигнала s(t) при известном значении импульсного отклика фильтра h(t).

Рис. 1.2.3. Рекурсивный ЦФ.

Рекурсивные фильтры. Фильтры, которые описываются полным разностным уравнением (1.2.2), принято называть рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как в вычислении текущих выходных значений участвуют не только входные данные, но и значения выходных данных фильтрации, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные фильтры называют также фильтрами с обратной связью, положительной или отрицательной в зависимости от знака суммы коэффициентов a_m. По существу, полное окно рекурсивного фильтра состоит из двух составляющих: нерекурсивной части b_n, ограниченной в работе текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала (при реализации на ЭВМ возможно использование и “будущих” отсчетов сигнала) и рекурсивной части a_m, которая работает только с "прошлыми" значениями выходного сигнала. Техника вычислений для РЦФ приведена на рис. 1.2.3.

Пример. Уравнение РЦФ: y_k = b_ox_k+a₁y_k-1, при b_o = a₁ = 0.5, y_-1 = 0.

Входной сигнал: x_k = {0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1....}

Расчет выходного сигнала:

у_o = 0,5x_o + 0,5y_-1 = 0; y₁ = 0,5x₁ + 0,5y_o =0; y₂ = 0,5x₂ + 0,5y₁ = 0.5; y₃ = 0,5x₃ + 0,5y₂ = 0.25;

y₄ = 0,5x₄ + 0,5y₃ = 0.125; y₅ = 0,5x₅ + 0,5y₄ = 0.0625; y₆ = 0,5x₆ + 0,5y₅ = 0.03125; и т.д.

Выходной сигнал: y_k = {0, 0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625,...}

Рис. 1.2.4. Рекурсивная фильтрация.

Из примера можно видеть, что реакция РЦФ на конечный входной сигнал, в принципе, может иметь бесконечную длительность (в данном случае с близкими к нулю, но не нулевыми значениями), в отличие от реакции НЦФ, которая всегда ограничена количеством членов b_k (окном фильтра).

Пример. Уравнение РЦФ: y_k = b_ox_k - a₁y_k-1, при b_o = 0.5, a₁=1.1, y_-1 = 0

Входной сигнал: x_k = {0, 10, 0, 0, 0,....}.

Выходной сигнал: y_k = {0,0,5,-5.5,6.05,-6.655,7.321,-8.053,8.858,-9.744,10.718,-11.79,… и т.д.}

Заметим: коэффициент обратной связи больше 1 и выходной сигнал идет "в разнос".

Рис. 1.2.5. Неустойчивый рекурсивный фильтр.

Операции, относящиеся к рекурсивной фильтрации, также известны в обычной практике, например - интегрирование. При интегрировании по формуле трапеций:

y_k = (x_k+x_k-1)/2 + y_k-1, (1.2.7)

т.е. здесь мы имеем РЦФ с коэффициентами: b_o = b₁ = 0.5, a₁ = 1.

Пример. Уравнение РЦФ: y_k=(x_k+x_k-1)/2+y_k-1, начальные условия - нулевые.

Входной сигнал: x_k={0,0,2,2,4,0,0,0,4,4,4,0,0,0,5,0,0,0,....}

Выполните фильтрацию. Контроль: y_k= {0,0,0,1,3,6,8,8,8,10,14,18,20,20,20,22.5,25,25,25...}

1.2.6. Интегрирующий рекурсивный фильтр.

1.3. Импульсная реакция фильтров.

Функция отклика. Если на вход фильтра подать единичный импульс (импульс Кронекера), расположенный в точке k = 0, то на выходе фильтра мы получим его реакцию на единичный входной сигнал, которая однозначно определяется оператором преобразования:

y(k) = TL[d(0)] = b_{n *} d(0-n) = h(k) ≡ b_n. (1.3.1)

Функция h(k), которая связывает вход и выход фильтра по реакции на единичный входной сигнал, получила название импульсного отклика фильтра (функции отклика).

Если произвольный сигнал на входе фильтра представить в виде линейной комбинации взвешенных импульсов Кронекера

x(k) =d₀ x(k-n),

то, с использованием функции отклика, сигнал на выходе фильтра можно рассматривать как суперпозицию запаздывающих импульсных реакций на входную последовательность взвешенных импульсов:

y(k) = h(n) (d₀ x(k-n)) º h(n) x(k-n).

Пределы суммирования в последнем выражении устанавливаются непосредственно по длине импульсного отклика h(n).

Определение импульсной реакции требуется, как правило, только для рекурсивных фильтров, так как импульсная реакция для НЦФ при известных значениях коэффициентов b(n), как это следует из выражения (1.3.1), специального определения не требует: h(n) ≡ b(n).

Если выражение для системы известно в общей форме (1.2.2), определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых начальных условиях. В соответствии с выражением (1.3.1) сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы.

Пример. Уравнение РЦФ: y_k = x_k + 0.5y_k-1.

Входной сигнал: x_k= d_o= {1,0,0,0,...}.

Расчет выходного сигнала при нулевых начальных условиях:

y_o = x_o+0.5 y_-1 = 1+0 = 1 = h_o. y₁ = x₁+0.5 y_o = 0+0.5 = 0.5 = h₁. y₂ = x₂+0.5 y₁ = 0+0.25 = 0.25 = h₂.

y₃ = x₃+0.5 y₂ = 0.125 = h₃. y₄ = x₄+0.5 y₃ = 0.0625 = h₄, и т.д.

Импульсный отклик фильтра: h_k = (O.5)^k, k = 0,1,2....

Определение импульсной реакции физической системы обычно производится подачей на вход системы ступенчатой функции (функции Хевисайда), которая равна u_o(k) = 1 при k ³ 0, и u_o(k) = 0 при k < 0:

g(k) =h(n) u_o(k-n) =h(n).

Отсюда:

h(k) = g(k) - g(k-1).

Функция g(k) получила название переходной характеристики системы (перехода из одного статического состояния в другое). Форму реакции фильтра на функцию Хевисайда можно видеть на рис. 1.2.4 (с точки k = 10 и далее) в сопоставлении с реакцией на импульс Кронекера в точке k = 2.

1.4. Передаточные функции фильтров /л7/.

Z-преобразование. Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является z-преобразование. Применяя z-преобразование к обеим частям равенства (1.2.1), c учетом сдвига функций (y(k-m) ó z^m Y(z)), получаем:

Y(z)a_mz^m = X(z) b_nzⁿ, (1.4.1)

где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a_o = 1, получаем в общей форме функцию связи выхода фильтра с его входом - уравнение передаточной функции системы в z-области:

H(z) = Y(z)/X(z) =b_nzⁿ(1+a_mz^m). (1.4.2)

Для НЦФ:

H(z) =b_nzⁿ. (1.4.3)

При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(ω), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. В общей форме для выходных сигналов фильтра:

Y(z) = H(z)·X(z).

Y(z)·(1+a_m·z^m) = X(z)·b_n·zⁿ

Y(z) = X(z)·b_n·zⁿ – Y(z)·a_m·z^m. (1.4.4)

После обратного Z-преобразования выражения (1.4.4):

y(k) =b_n·x(k-n) –a_m·y(k-m). (1.4.5)

При подаче на вход фильтра единичного импульса Кронекера d_о, имеющего z-образ d(z) = zⁿ = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y(k) ≡ h(k), при этом:

H(z) = Y(z)/d(z) = Y(z) = TZ[y(k)] =h(k)z^k, (1.4.6)

т.е. передаточная функция фильтра является z-образом ее импульсной реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции соответственно получаем импульсную характеристику фильтра:

h(k) ó H(z). (1.4.7)

Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, что как правило характерно для НЦФ, то обратное z-преобразование осуществляется элементарно идентификацией коэффициентов по степеням z. Передаточная функция РЦФ также может быть представлена степенным полиномом прямым делением числителя на знаменатель правой части выражения (1.4.2), однако результат при этом может оказаться как конечным, так и бесконечным, т.е. система может иметь либо конечную, либо бесконечную импульсную характеристику. Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой получили название БИХ-фильтров, с конечной импульсной характеристикой соответственно КИХ-фильтров. Нерекурсивные фильтры всегда являются КИХ-фильтрами, т.к. длительность импульсной реакции НЦФ определяется окном фильтра.

Дата добавления: 2014-01-07