Регрессионного анализа

Математическое планирование эксперимента для проведения

В современных условиях, учитывая многогранность изучаемых явлений, острый дефицит времени, высокую стоимость эксплуатации научного оборудования, необходимо стремиться к наиболее рациональным планам проведения эксперимента.

Во многих случаях полученное по результатам эксперимента уравнение регрессии используется как математическая модель объекта.

Математические модели объекта могут быть детерминированными и статистическими.

Детерминированные математические модели объекта, строят на основе фундаментальных законов физики, механики, химии и других естественных наук. Статистические математические модели получают, описывая зависимости выходных параметров y_v (свойств, откликов) объекта от изменения входных параметров x _j (факторов) с помощью различных функций

y_v = j_v (x₁, x₂, x₃,..., x_j,..., x_k) + e (w₁, w₂, w₃,..., w_z,...),

где e – вклад в изменение свойств объекта случайных факторов.

Наиболее часто в качестве статистической модели объекта используют приближенные уравнения регрессии ŷ:

ŷ = f_v(x₁, x₂, x₃, …, x_j, …, x_k);

y_v = f_v(x₁, x₂, x₃,..., x_j,..., x_k) + q + e.

Одно из основных требований к математической модели объекта - это точность описания (предсказывания) поведения реального объекта при изменении условий.

Применение методов РАМПЭ может помочь получить уравнения регрессии, более точноописывающегореальный объект (с меньшими ошибками q + e),чем уравнение, полученное при КРА. В некоторых случаях применение методов математического планирования эксперимента позволяет значительно сократить в нем число опытов.

В основу методов математического планирования эксперимента для проведения РА положен принцип "черного ящика". Суть этого принципа заключается в том, что исследователь, не зная об истинных закономерностях поведения объекта, описывает его с помощью статистических математических моделей.

Образно говоря, "ударяя" по исследуемому объекту изменением входных параметров (x_j) в ходе эксперимента (рис. 6) и измеряя его реакцию (y_v) на эти "удары" при действии случайных факторов (w_z), можно получить статистическую математическую зависимость, пригодную для прогноза поведения объекта.

Рис. 6. Схема объекта, изучаемого методом "черного ящика"

С помощью метода "черного ящика" получают статистические математические модели объектов в виде полиномов различной степени.

Известно, что любую функцию (в том числе j) можно разложить в ряд Тейлора и представить в виде конкретного полинома определенной степени (конечного отрезка ряда Тейлора) вида

…,

ŷ =

где b и b – генеральные и выборочные коэффициенты ряда Тейлора, соответственно.

По результатам эксперимента можно определить вид полинома только с выборочными коэффициентами, которые характеризуют:

b₀ – величину y при нулевом значении всех факторов (свободный член);

b₁, b₂,..., b_j,..., b_k – линейные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y;

b₁₂, b₁₃,..., b_1j,...,b_1k, b₂₃, b₃₄,..., b_2j,..., b_(k-1)j, ..b_(k-1)k – парные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y (эффекты взаимодействия двух соответствующих факторов);

b₁₁, b₂₂,..., b_jj,..., b_kk – квадратичные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y;

b₁₂₃, b₁₂₄,..., b_1uj,..., b₂₃₄, b₂₃₅,..., b_2uj,..., b_(k-2)(k-1)k – тройные эффекты влияния соответствующих факторов на величину y (эффекты взаимодействия трех соответствующих факторов) и т.д.

Наиболее удобно планировать эксперимент математическими методами для кодированных значений факторов (x_j), получаемых из натуральных значений (X_j) по следующим формулам:

; ; ,

где – натуральное значение фактора в центре (середине) выбранной (заданной) области изменения (варьирования) фактора, и – максимальное и минимальное значения фактора в выбранной области его изменения, соответственно; D Х _j – шаг варьирования фактора. В соответствии с этими формулами натуральному значению X _j = соответствует кодированное значение x _j = 0; X _j = – кодированное значение x_j = +1, а X_j = – значение x_j = –1.

Переход от кодированных значений факторов к натуральным осуществляют по формуле

.

Выбор плана эксперимента для проведения РАМПЭ, в отличие от планирования экспериментов для проведения КРА, определяется видом выбранного семейства функций (видом полинома).

После завершения эксперимента для проведения РАМПЭ выполняют следующие действия:

Выбирают вид полинома (отрезок ряда Тейлора) для поиска уравнения регрессии.

Для выбранного полинома с помощью МНК рассчитывают параметры функции (выборочные коэффициенты уравнения регрессии).

Проверяют рассчитанные выборочные коэффициенты уравнения регрессии на значимость (равенство нулю).

Корректируют вид исходной функции, исключая из нее члены с незначимыми коэффициентами.

Оценивают ошибки, допускаемые при описании истинной зависимости j с помощью найденного уравнения регрессии: проверяют адекватность уравнения регрессии с помощью распределения Фишера или рассчитывают вероятность описания зависимости j функцией f.

Если точность найденного уравнения регрессии не удовлетворяет, то выбирают, планируют и реализуют другой план эксперимента для поиска уравнения регрессии в другом семействе полиномов (например, полиномов более высокого порядка).

Порядок проведения РАМПЭ в отличие от КРА имеет следующие особенности:

- выбирается только один класс функций – полиномы;

- используется только один метод приближения – МНК;

- после корректировки уравнения регрессии его коэффициенты не пересчитываются;

- выполняется меньшее количество этапов РА.

Обычно поиск уравнения регрессии начинают в семействе самых простых полиномов: первого и второго порядка. По названиям степеней полиномов называют и планы эксперимента для применения РАМПЭ.

Прежде чем перейти к знакомству с методами РАМПЭ, необходимо отметить некоторые важные обстоятельства [4].

1. С познавательной точки зрения полиноминальная статистическая модель объекта не представляет большого интереса. Зная оценки коэффициентов отрезков ряда Тейлора, нельзя определить истинную зависимость j, а, следовательно, невозможно получить информацию о механизме поведения исследуемого объекта.

2. Полиноминальные модели справедливы только для условий, в которых проводился эксперимент.

3. Полиноминальные модели очень полезны с практической точки зрения, так как позволяют управлять поведением объекта и решать для него задачи оптимизации.

Дата добавления: 2014-01-07