Основные действия с матрицами

Занятие 5

Тема: Работа с векторами и матрицами.

Изучив данный учебный элемент, вы:

Ø научитесь выполнять с матрицами основные арифметические действия;

Ø научитесь выполнять транспонирование матриц.

Арифметические операции матрицы и скаляра

В Mathcad к матрице можно прибавлять (или отнимать от нее) любое число. При этом оно будет прибавлено ко всем (или вычтено из всех) элементов исходной матрицы. При умножении матрицы на скаляр на него умножается каждый элемент исходной матрицы. Аналогично умножению, матрицу можно разделить на скаляр. Во всех операциях матрица и скаляр могут быть представлены и символически: как в виде буквы, так и в виде выражения. При этом в качестве оператора ввода следует использовать оператор символьного вывода (®).

Выше сказанное аналогично применимо не только к матрицам, но и к векторам.

Рассмотрим пример:

Арифметические операции матриц

Сложение и вычитание матриц

Чтобы сложить или вычесть матрицы, используются привычные символы (+) или (-), которые помещаются между соответствующими матрицами (или именами матриц). При это каждому элементу М_i,j первой матрицы прибавится (или вычтется из него) элемент М1_i,j второй матрицы. Результатом будет третья матрица, элементы которой являются суммой (разностью) соответствующих элементов суммируемых (вычитаемых) матриц. Матрицы должны быть одинаковой размерности. В выражениях матричного сложения или вычитания можно использовать и коэффициенты.

Рассмотрим пример:

Даны матрицы:

Найти А+В; матрицу Х, удовлетворяющую условию 3А-2Х=В

Выше сказанное аналогично применимо не только к матрицам, но и к векторам.

Матричное умножение

Матричное умножение выполняется следующим образом: все элементы нулевой строки первой матрицы умножаются на соответствующие элементы нулевого столбца второй матрицы, и затем эти произведения суммируются. Далее нулевая строка первой матрицы аналогично умножается на первый столбец второй матрицы, и значение заносится как второй элемент верхней строки матрицы – результата. При умножении следующей строки первой матрицы на столбцы второй будет сформирована первая строка результирующей матрицы. И так далее – до тех пор, пока не будут перемножены все строки. Так при умножении матрицы размерности M*N на матрицу размерности M*K будет получена матрица размерности N*K. Перемножать матрицы можно лишь в том случае, если количество столбцов первой равно числу строк второй. Перемножать матрицы можно и в том случае, когда элементы их представлены символами или выражениями.

Рассмотрим пример:

Найдите произведение АВС для трех матриц:

Символьное умножение матриц:

Транспонирование матриц

Транспонированием называется матричная операция, переводящая матрицу размерности M*N в матрицу размерности N*M. Иначе говоря, при транспонировании строки исходной матрицы превращаются в столбцы, а столбцы – в строки. Оператор транспонирования находится на панели Матричные. Транспонирование можно провести и для матриц, чьи элементы определены символически. При этом следует использовать оператор (®), расположенный на панели Символьные.

Рассмотрим пример транспонирования матриц:

Даны матрицы:

Найдите матрицу Х=3А+В^Т

Символьное транспонирование:

Дата добавления: 2014-01-07