Теорема 1. Пусть даны , тогда имеет справедливость формула:

.

Бином Ньютона.

Число е.

Пусть даны , тогда имеет справедливость формула:

Пример:

Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел.

Доказательство:

Пусть дана - возрастающая последовательность. Т.к. - ограниченная последовательность, то . По утверждению теоремы , причем .

Т.к. возрастает, двигаясь в одном направлении вверх по оси , при этом не выходя из промежутка , поэтому значения будут неограниченно приближаться к некоторому числу - предел нашей последовательности.

Аналогично для случая убывающей последовательности.

Для немонотонной последовательности возможно 3 случая:

1. Последовательность имеет предел (конечный),

2. Последовательность стремится к бесконечности.

3. Последовательность не имеет предела (например, ). В этом случае последовательность называется колеблющейся.

Докажем с помощью теоремы 1 существования 2 замечательного предела.

Дата добавления: 2014-01-06