Теорема 2. Последовательность имеет предел при

Последовательность имеет предел при .

Доказательство:

По формуле бинома Ньютона имеем:

Из полученной формулы видно, что с ростом каждое слагаемое, начиная с третьего, во-первых, будут увеличиваться, во-вторых, при этом будут еще добавляться новые положительные слагаемые. Итак, - возрастающая последовательность.

Докажем теперь, что - ограниченная последовательность.

Заменив все скобки единицами, мы увеличим правую часть.

Мы тем более увеличим правую часть, если произведем следующую замену:

Получим, что (добавив еще членов до бесконечности, мы еще увеличим правую часть).

- возрастает и ограничена, таким образом, по теореме 1 имеет предел.

Предел этой последовательности обозначают числом .

- 2 замечательный предел.

Дата добавления: 2014-01-06