Лемма о вложенных промежутках

Определение 1 Последовательностью вложенных промежутков называется последовательность промежутков, в которой каждый последующий промежуток содержится в предыдущем.

Определение 2 Последовательность вложенных промежутков называется стягивающей, если длины ее промежутков стремятся к нулю.

Лемма (Коши-Кантора).

Для любой стягивающейся последовательности вложенных, замкнутых, конечных промежутков существует и единственна точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности.

Замечание: все требования леммы должны выполняться.

Пример:

Условие замкнутости пропустили

Если бы существовала точка , принадлежащая всем промежуткам, то она как минимум была бы больше 0, но т.к. , значится найдется такое . Таким образом, не существует точки, которая будет принадлежать всем промежуткам.

§3.11. Лемма (Больцано-Вейерштрасса) о выделении сходящейся последовательности.

Рассмотрим произвольную последовательность и рассмотрим последовательность номеров

- подпоследовательность исходной последовательности.

Пример:

1 2 3 4 5 6 7 8 9…

1 4 8 15 21 – подпоследовательность

Утверждение: Если , то для любой ее подпоследовательности будет существовать . Это частный случай следствия 1 из §3.3.

Лемма (Больцано-Вейерштрасса).

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

Пусть дана ограниченная последовательность для .

Некоторой точкой разобьем промежуток на две части. Хотя бы в одном из полученных промежутков будет находиться бесконечное число членов последовательности. Возьмем такой промежуток и разобьем еще раз пополам и т.д. Повторим эту процедуру и получим последовательность вложенных промежутков:- последовательность замкнутых, конечных, вложенных промежутков. Получим стягивающуюся последовательность, т.к. , следовательно, по лемме из §3.10. существует единственная точка, которая будет принадлежать всем промежуткам последовательности.

Теперь из промежутка возьмем какой-либо член последовательности, например, с наименьшим номером среди членов, лежащих в этом промежутке. Обозначим его

Из берем ;

Из берем , и т.д.

Получим последовательность , которая является подпоследовательностью исходной.

(по принципу двух милиционеров)

Дата добавления: 2014-01-06