Интегрирование простейших рациональных дробей

Определение. Многочленом степени n называется выражение вида , где -действительные числа, , n – целое положительное число.

Определение. Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией называется отношение двух многочленов .

Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m<n.

Замечание. Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена степени m-n и правильной дроби. Для этого нужно поделить “столбиком” многочлен числителя на многочлен знаменателя. Если частное от деления записать в виде , а остаток в виде , то исходную дробь можно представить в виде: , k<n То есть частное от деления будет давать некоторый многочлен , знаменатель получившейся дроби не изменится, а в числителе будет записан остаток от деления.

Пример 1. Упростить неправильную дробь .

Решение.

.

В дальнейшем будем рассматривать интегралы только от правильных дробей, так как любую неправильную дробь можно представить в виде многочлена, то есть суммы степенных функций и правильной дроби.

Если степень знаменателя равна единице, то интеграл имеет вид: . Он вычисляется введением замены вида t=kx+b:

.

(7)

Пример 2. Вычислить интеграл: .

Решение: Введем замену:

Если степень знаменателя равна двум, то интеграл имеет вид:

(8)

Рассмотрим сначала частный случай, когда b=0. В этом случае интеграл примет вид:

(9)

. Данный интеграл можно разложить на два:

Тогда для вычисления интеграла (9) необходимо вычислить интегралы вида:

	(10)
	(11)

Интеграл (11) сводится вынесением множителя к табличному интегралу , если , или табличному интегралу , если .

Для нахожддения интеграла (10) используем замену переменных :

Окончательно имеем:

(12)

Пример 3. Вычислить интеграл: .

Решение. Приведем подынтегральную функцию к правильному виду:

.

Найдем интеграл от полученной правильной дроби:

.

Тогда исходный интеграл будет равен:

.

Интеграл (8), когда , можно привести к виду (9), если сначала выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции.

Пример 4. Вычислить интеграл: .

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе дроби:

.

.

Если степень знаменателя больше двух, то подынтегральная функция может быть разложена на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов. Данный метод основан на следующих свойствах дробно-рациональных функций:

1. если - правильная дробь, знаменатель которой g(x) имеет n попарно различных действительных корней, то данная дробь может быть представлена в виде:

;

2. если - правильная дробь, знаменатель которой g(x) имеет n равных действительных корней, то данная дробь может быть представлена в виде:

.

Суть метода неопределенных коэффициентов заключается в том, что знаменатель дроби представляется в виде произведения множителей трех видов:

I. ;

II. ;

III. ; дискриминант данного выражения D<0.

Исходная дробь представляется в виде суммы простейших дробей, вид которых определяется видом множителей знаменателя исходной дроби.

Вид множителя	Вид дроби

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Найдем корни многочлена знаменателя:

.

Подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы простейших первого вида:

.

Приравниваем коэффициенты при x в одинаковых степенях в числителе исходной и полученной дробей:

Решая уравнение получаем: ;;.

.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение.

Подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы простейших первого и второго вида:

.

Приравниваем коэффициенты при x в одинаковых степенях в числителе исходной и полученной дробей:

Решая уравнение получаем: ;;.

.

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Представим знаменатель в виде произведения:

.

Подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы простейших первого и третьего видов:

Приравниваем коэффициенты при x в одинаковых степенях в числителе исходной и полученной дробей:

Решая уравнение получаем: ;;.

.

Дата добавления: 2014-01-07