Основная формула интегрального исчисления

Теорема. Непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция:

(26)

Такой интеграл, называется интегралом с переменным верхним пределом.

В формуле (26) переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом.

Согласно вышеприведенной теореме, функция f(x) имеет первообразную на отрезке [a;b], которая определяется по формуле:

, где C – некоторая константа.

(27)

Подставим в (27) x=a, и с учетом свойства 1 определенного инетграла, получим следующее выражение:

;;.

Подставим полученное значение для C в формулу (27):

(28)

Полагая x=b, получаем формулу:

(29)

Это равенство называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b)-F(a) условно записывают символом , то есть:

(30)

Пример 1. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: .

Пример 2. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: .

Пример 3. Мощность y потребляемой городом электроэнергии определяется формулой:

где t – текущее время суток. Найти суточное потребление электроэнергии при a=15000 кВт, b=12000 кВт.

Решение:

.

Подставляя значения a и b получаем суточное потребление электроэнергии равное»497,5 МВт.

Дата добавления: 2014-01-07