Производная по направлению и градиент

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки M(x;y), l – некоторое направление, задаваемое единичным вектором , где - направляющие косинусы вектора e. При перемещении в данном направлении l точки в точку функция z получит приращение , называемое приращением функции z в данном направлении l.

Определение. Производной по направлению l функции двух переменных называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, то есть:

(7)

Производная характеризует скорость изменения функции в направлении l.

Частные производные и представляют производные по направлениям, параллельным осям Ox и Oy.

Производная по направлению вычисляется по формуле:

(8)

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении точки .

Решение: Производная по направлению находится по формуле .

Найдем частные производные:

и .

Найдем направляющие косинусы, задающие направление:

.

.

Определение. Градиентом grad z (или ) функции в точке M называется вектор, координаты которого равны, соответственно, частным производным в этой точке:

(9)

Для функции двух переменных градиент можно записать в виде:

(10)

Градиент характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

Найдем скалярное произведение векторов и единичного вектора . Получим следующее выражение:

(11)

Сравнивая равенства (8) и (11) получим, что , то есть производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление l.

Пример 2. Найти градиент и его модуль для функции в точке .

Решение: .

В точке градиент равен . Модуль градиента равен: .

Дата добавления: 2014-01-07