Открытые и замкнутые множества

Определение 1 Точка называется внутренней для множества , если она ему принадлежит вместе с некоторой окрестностью.

Определение 2 Множество называется открытым, если любая его точка является внутренней для этого множества.

открытое множество

не открытое множество из-за точки

Определение 3 Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои конечные предельные точки.

не открытое и не замкнутое множество

- замкнутое множество

Есть множества, которые одновременно являются и открытыми, и замкнутыми: .

Определение Для его дополнением называется множество - разность множеств, т.е. множество точек из , не входящих в множество (- дополнение к множеству ).

Теорема (критерий открытости и замкнутости множеств).

1) Для того, чтобы множество было открытым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было замкнутым.

2) Для того, чтобы множество было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было открытым.

Дата добавления: 2014-01-06