Теорема. Теорема Коши о конечных приращениях

Теорема Коши о конечных приращениях.

Пусть функция и :

1) непрерывны в

2) имеют конечные производные и в

3) и конечна

тогда существует точка (1)

Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши, которая получается, если .

Доказательство:

а) сначала покажем, что , т.е. . Если допустить противное: , то функция удовлетворяет условиям теоремы Роля , а это противоречит условию (3)

б) введем вспомогательную функцию Утверждается, что данная функция удовлетворяет условиям теоремы Роля

, т.е. получена формула (1)

В литературе все рассмотренные теоремы: Ферма, Роля, Лагранжа и Коши – называются теоремами о среднем.

Дата добавления: 2014-01-06