Теорема 2. Признаки монотонности и постоянства функции

Теорема 1.

Признаки монотонности и постоянства функции.

Исследование функции с помощью производной.

Если функция непрерывна на промежутке и производная на , то равна на .

Доказательство:

Пусть непрерывна на промежутке , тогда:

1) если , то функция возрастает (убывает) на .

2) если , то функция строго возрастает (строго убывает) на .

Доказательство:

для случая возрастания:

Пусть . Возьмем

для возрастает.

Геометрический смысл теоремы 2: Если , то касательная везде образует положительный острый угол, т.е. функция идет вверх.

Теорема 3(необходимый признак монотонности)

Если возрастает (убывает) в точке и , то .

Замечание. Из того, что строго возрастает (строго убывает) еще не следует, что , т.е. производная даже строго возрастающей (убывающей) функции может для некоторых значений обращаться в ноль.

Дата добавления: 2014-01-06