Типові ланки

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ЛІНІЙНИХ АСР.

При створенні та дослідженні АСР, іншими словами, при розв'язанні двох основних завдань - аналізу та синтезу, використовують математичні моделі (MM). Вони являють собою сукупність математичних залежностей, що зв'язують вихід окремого елемента чи системи в "цілому з різними вхідними величинами (збуреннями й управліннями) у статиці та динаміці, тобто в усталеному і перехідному режимах. Останнім часом при застосуванні мікропроцесорних систем MM використовують значно ширше. Вони можуть включатися безпосередньо в контур управління або за їх допомогою розв'язують задачі оптимального управління складними об'єктами. Добре відомі системи з ідентифікатором у ланцюгу зворотного зв'язку, еталонними моделями (ідентифікатор - пристрій, за допомогою якого по експериментальних даних у процесі роботи системи одержують необхідні MM).

Питання одержання та аналізу MM дуже складні, вони охоплюють широкий спектр понять і прийомів і розглядаються в окремих навчальних дисциплінах. Тут же висвітлюються лише питання, як одержати MM лінійних АСР. Найчастіше використовують такий принцип: АСР розбивають на дільниці чи елементи, для яких легко знайти MM, а модель системи в цілому одержують використанням MM окремих елементів. Ефективним методом при цьому є використання елементарних ланок, властивості яких визначені наперед, є їх повний набір і з них, як із "цеглинок", можна сконструювати будь - яку АСР та одержати необхідні MM.

Призначення кожної АСР - підтримувати заданий режим роботи об'єкта, або в більш загальному випадку - визначати і у подальшому підтримувати необхідний режим. Реальні системи постійно знаходяться

під впливом різних збурень, що змінюються непередбачено - змінюються матеріальні потоки, якість сировини, параметри теплоносіїв і т.д. Тобто в них відбуваються перехідні процеси. Основний режим їх роботи - динамічний, оскільки автоматичний регулятор постійно намагається підтримувати обраний технологічний режим. У той же час з деякими допущеннями на певних інтервалах часу можна виділити статичний режим роботи АСР (статику), коли в системі підтримуються матеріальні та енергетичні баланси, а основні змінні є постійними.

Як уже відзначалося, реальні нелінійні системи завжди по можливості намагаються замінити лінійними (лінеаризувати) - здійснюють лінеаризацію системи, тобто замінюють у робочому діапазоні ділянку статичної нелінійної характеристики відрізком прямої. На рис. 3.1, а показано елементарну ланку (ЕЛ), а на рис. 3.1, б, в - можливі нелінійні характеристики. Найпростішими методами лінеаризації є графічні - метод дотичних і метод січних. У робочій точці {U_o, X_o} (рис. 3.1,6) проводять дотичну до статичної характеристики так, щоб ∆X₁ ≈∆ X₂. Вона й буде лінійною статичною характеристикою ланки в діапазоні ∆U=U₂-U,. Для характеристики, наведеної на рис. 3.1, в, метод дотичних дає велику похибку, тому використовують метод січних. У робочій точці також проводять дотичну так, щоб ∆X₁ ≈∆ X₂. Лінійною характеристикою є пряма (січна), яка ділить відрізки ∆ Х, і ∆Х₂ навпіл. Методи лінеаризації застосовують за умови, якщо діапазон дуже малий. І це дійсно так, оскільки АСР завжди підтримує заданий робочий режим. Якщо нелінійність задана аналітично X = φ(U), то можна використати для лінеаризації розкладання функції φ (U) в ряд Тейлора:

(3.1)

Використавши лише перші два члени розкладання, одержимо рівняння прямої - лінійної характеристики:

X = φ (U ₀) +, (3.2)

де = К - постійний коефі­цієнт.

Крім того, що функцію нелінійності замінюють прямою коло робочої точки, необхідно, щоб вона була неперервно диференційо­ваною. Якщо робоча точка змінюється, наприклад, при зміні режиму роботи об'єкта, то лінеаризацію необхідно повторити з новими координатами.

Приклад. Лінеаризувати харак­теристику, яка описується рівнян­ням X=2U² в точці U=2. Запишемо наближено вираз, приймаючи перші два члени в ряді Тейлора:

X = f(U₀)+ f ^/(U₀)∆U.

Підставляючи початкові дані, маємо: X = 2 • 4 + 4 • 2(U - 2) = 8U - 8.

Математичні моделі елементів і систем мають ряд особливостей, серед яких найхарактерніша та, що кожному елементу чи системі можна поставити у відповідність множину MM. Кожна MM має конкретне призначення, наприклад, MM статики, MM динаміки і т.д. В теорії та практиці автоматизації використовуються різні MM.Оскільки ос­новним режимом АСР є динамічний, то в подальшому розглядатимемо динамічні MM, які називають динамічними характеристиками. Вони можуть бути різними: диференціальними рівняннями, частотними і часовими характеристиками. Ще раз підкреслимо, що кожна з цих характеристик - це лише форма відображення окремих властивостей елементів чи систем, а використання конкретних характеристик визначається розв'язуваною задачею та зручністю їх застосування. Важливим є також те, що між різними характеристиками існує однозначний зв'язок, який дає можливість при потребі переходити від однієї характеристики до іншої.

Рис. 3.1. Графічна лінеаризація нелінійних характеристик: а - нелінійний елемент; б - метод дотичних; в - метод січних

Динаміка АСР може описуватися звичайним диференціальним рівнянням n-го порядку з постійними коефіцієнтами:

(3.3)

де a, b - постійні коефіцієнти, що залежать від параметрів системи; n, m - порядок похідних, n < m.

Якщо система переходить в усталений стан, то MM статики можна одержати з рівняння (3.3), прирівнюючи похідні нулю:

а_ох = b₀U (3.4)

Диференціальні рівняння зручно записувати в операторному вигляді, вводячи оператор:

(3.4)

Тоді рівняння (3.3) можна записати у вигляді:

(3.6) Часто використовують такий компактний запис:

Q(p)X(p) = P(p)U(p), (3.7)

Де Q(p), R(p) - власний оператор та оператор дії.

Лінійні диференціальні рівняння першого і другого порядків зручно записувати у стандартній (канонічній) формі. Для цього вихідна величина й усі її похідні записуються зліва, решта величин - справа, коефіцієнт при X приводиться до одиниці. Тоді для систем першого, порядку диференціальне рівняння набуває вигляду:

(3.8)

де Т = - постійна часу, яка має розмірність секунди або

хвилини;

k = - коефіцієнт передачі.

Смисл такого запису полягає в тому, що рівняння (3.8) набуває нового змісту. Постійна часу Т характеризує інерційність системи (швидкість перебігу перехідних процесів), а коефіцієнт k показує, наскільки зміниться вихідна величина X при зміні дії на одиницю.

Дуже поширеною, наочною і зрозумілою формою зображення динамічних характеристик є передаточна функція. Формально це відношення оператора дії до власного оператора, який відповідає відношенню в операторній формі вихідної величини до вхідної:

(3.9)

Для виразу (3.6) передаточна функція буде:

(3.10)

а для виразу (3.8):

(3.11)

Фізичний смисл поняття передаточної функції полягає в тому, що вона однозначно показує, як передається вхідний сигнал на вихід елемента чи системи, тобто при заданій передаточній функції і певному вхідному сигналі завжди однозначно визначається вихідний сигнал:

Х(р) = W(p)U(p). (3.12)

Перехідні процеси протікають у часі, тому одним із видів динамічних характеристик є часові характеристики. Вони є реакцією на вхідні сигнали, а зображуються як траєкторії зміни X у часі. Для порівняння характеристик різних елементів використовують типові вхідні сигнали - стрибкоподібний або імпульсний. На рис.3.2 показано вхідний стрибкоподібний сигнал U і реакцію на нього різних об'єктів: 1 - першого порядку з самовирівнюванням; 2 - без самовирівнювання;

З -n-го порядку з самовирівнюванням (ці поняття будуть розглядатися при аналізі властивостей об'єктів). Зауважимо лише, що часові

характеристики досить просто визначаються експериментально. За їх допомогою одержують параметри, які характеризують динамічні властивості об'єкта - k, T та інші (час запізнювання). Часові характеристики, зображені на рис.3.2, називаються кривими розгону. Якщо кожне значення X(t) розділити на U, одержимо перехідні функції як реакцію об'єкта на одиничне значення U.

Для розв'язування задач аналізу та синтезу АСР динамічні характеристики подаються також у частотному вигляді - частотні характеристики. Вони показують, як об'єкти, елементи чи системи в цілому пропускають (перетворюють) вхідні сигнали з різною частотою. Частотна характеристика - реакція досліджуваного об'єкта на вхідний сигнал, частота якого змінюється від 0 до со (рис. 3.3). На вхід подається гармонічний синусоїдний сигнал:

U=U_max sin (ωt). (3.13)

На виході лінійної системи через певний час також встановлюються гармонічні коливання тієї ж частоти, але з іншою амплітудою та зсувом фаз:

X=X_max sin (ωt + φ). (3.14)

На основі аналізу вхідних і вихідних коливань визначають амплітудно-частотну (АЧХ), фазо-частотну (ФЧХ) та амплітудно-фазову (АФХ) характеристики. Амплітудно-частотна характеристика при частоті ω =0 показує значення коефіцієнта передачі об'єкта k, а при ω →∞ А(ω) →0. У цьому проявляються частотні властивості об'єктів як фільтрів низьких частот.

Таким чином, при створенні й дослідженні АСР можна використовувати різні види MM у вигляді динамічних характеристик і зв'язків між ними. Так, наприклад, часові характеристики є розв'язками диференційних рівнянь з певними коефіцієнтами та правими частинами. Маючи передаточні функції, можна одержати частотні характеристики заміною p=j ω

Як уже було вказано, одним з ефективних прийомів одержання і представлення MM системи є використання типових елементарних ланок. Основна ідея цього методу полягає в тому, що вводяться елементарні ланки із наперед заданими властивостями, а їх перелік дає можливість представити будь-яку АСР сукупністю цих ланок та певними зв'язками між ними. Типова елементарна ланка - це ланка з одним входом і виходом, яка є напрямленою, тобто сигнал проходить лише в

одному напрямку - із входу на вихід (рис. 3.1, а). Маючи перелік типових елементарних ланок та їх характеристики, реальну АСР представляють відповідними з'єднаннями вказаних ланок. При цьому одній із них може відповідати як окремий елемент АСР, так і деяка її частина, тобто є можливість одержувати MM різного ступеня деталізації. Отже, об'єкту можна поставити у відповідність одну ланку або кілька. В теорії автоматичного регулювання користуються такими елементарними ланками: підсилювальною; інтегрувальною; диференціювальною; аперіодичною; коливальною; з постійним запізнюванням.

Тут немає можливості детально розглянути всі ланки, тому наводиться матеріал лише стосовно аперіодичної ланки, а для решти подано характеристики в табл. 3.1. Вибір аперіодичної ланки не випадковий, а пояснюється тим, що вона найчастіше використовується - самостійно або в поєднанні з іншими.

Аперіодична ланка описується рівнянням:

(3.15)

де Т - постійна часу; k - коефіцієнт передачі (за змістом це відповідає коефіцієнту підсилення).

Для одержання передаточної функції запишемо (3.15) в операторному вигляді:

(Тр + 1 ) Х(р)= kU(p) (3.16)

Звідки передаточна функція буде:

(3.17)

На прикладі цієї ланки зручно показати деякі зв'язки між різними динамічними характеристиками. Так, для отримання частотних характеристик підставимо у (3.17) p=jω:

(3.18)

Помножимо чисельник і знаменник (3.18) на комплексний спряжений множник, тоді

(3.19)

де - дійсна частина АФХ,

-уявна частина АФХ.

Використовуючи для зображення АФХ полярні координати і правила дій над комплексними числами, одержимо:

АЧХ: (3.20)

ФЧХ: (3.21)

Рис.3.4. Частотні характеристики аперіодичної ланки:

а - амплітудно-частотна, б – фазо - частотна, в - амплітудно-фазова

На рис. 3.4 показані частотні характеристики аперіодичної ланки. На рис. 3.5 показана часова характеристика цієї ланки, отримана при ступінчастому збуренні по U. Це є розв'язок диференціального рівняння ланки (3.15), який має вираз:

X(t)=kU(l – e^-t/T) (3.22)

При U=l X(t) позначається в літературі h(t) - перехідна функція. Серед властивостей аперіодичної ланки однією з основних є наявність самовирівнювання, тобто можливість самостійно приходити в усталений стан по закінченні перехідного процесу (при →∞). Коефіцієнт передачі ланки:

(3.23)

Він показує, як змінюється X при зміні U на одиницю. Графічно

можна знайти значення постійної часу Т як проекцію на вісь часу дотичної, проведеної з початку координат. Аперіодичною ланкою можна описати властивості різних простих об'єктів - збірників, теплообмінників тощо.

Для дослідження властивостей АСР необхідно також мати математичний опис автоматичних регуляторів, при якому важливу роль відіграє характер сигналів, що діють на їх входи. За цією ознакою автоматичні регулятори поділяють на дві групи: аналогові (безперервні), в яких діють лише сигнали, що є непе­рервними функціями часу; дискретні, для яких характерна наявність сигналів у вигляді дискретних значень у послідовні моменти часу, імпульсів або цифрових кодів. До дискретних належать позиційні (релейні), імпульсні та цифрові регулятори.

Розглянемо безперервні регулятори, які реалізують свої функції за певними законами регулювання. Враховуючи, що на вхід регулятора

надходить сигнал похибки (непогодження) X =X_зад -X, а на виході формується сигнал U _р, законом регулювання називають залежність:

(3.24)

Рис. 3.5. Часова характеристика аперіодичної ланки

Таблиця

Характеристики типових елементарних ланок

№ п/ п	Ланка	Рівняння динаміки	Передаточна функція	Графік часової ха­рактеристики
	Підси­люва­льна	X = kU	W(p) = k
	Інте­грува­льна

Продовження табл.3.1.

3.	Диференці-ювальна		W(p) = T0p
4.	Апері­одична
5.	Коли­вальна
		T2<2T1
б.	Із запіз­нюван­ням	X(t) = U(t-τ3)

Регулятори неперервної дії реалізують прості та комбіновані закони регулювання. Наявність їх дає можливість вибрати один із них, який найкраще підходить для даних умов роботи(характеристик об'єкта, технологічних вимог до АСР, зовнішнього середовища).

Прості закони регулювання:

пропорційний (П- регулятори):

U_p=K_p∆X, (3.25)

інтегральний (І-регулятори):

(3.26)

диференціальний (Д - регулятори):

(3.27)

Комбіновані закони регулювання: пропорційно-інтегральний (ПІ-регулятори):

) (3.28)

пропорційно-інтегральний з диференціальною складовою (ПІД-регулятори):

(3.29)

У виразах (3.25-3.29) є постійні коефіцієнти, так звані настройки регуляторів, змінюючи які, можна в досить широкому діапазоні змінювати дію регулятора, пристосовуючи його до конкретних умов роботи. При технічній реалізації законів регулювання постійні коефіцієнти, тобто настройки регулятора, виставляються на конкретних технічних засобах. Ті настройки, що забезпечують найкращі результати роботи АСР, називаються оптимальними.

У простих законах регулювання для кожного регулятора існує одна настройка:

для П - регулятора: Кр - коефіцієнт передачі;

для І-регулятора: Крі - коефіцієнт (параметр) настройки, який змінює тривалість перехідних процесів;

для Д - регулятора: К _д - параметр настройки, який змінює швидкість наростання регулюючої дії U_p.

У комбінованих законах вводиться кілька настройок: для ПІ-регулятора К_р та Ті. (так званий час ізодрому); для ПІД-регулятора: К _р, Ті,К_д ,Т_д (час випередження).

Отже, при автоматизації конкретних об'єктів постає завдання вибрати спочатку закон регулювання, а потім знайти такі настройки, які в комплексі забезпечили б найкращі показники роботи. Кожен із законів регулювання має як позитивні, так і негативні боки. Так, П - регулятори, реалізовані за виразом (3.25) є найбільш швидкодіючими, а ідеальні практично безінерційними. В той же час у системах з П - регуляторами може встановлюватись кілька (в загальному випадку - множина) станів рівноваги, що призводить до так званої статичної похибки, а системи (а часом і самі регулятори) називають статичними. Як буде показано нижче, статична похибка - це відхилення поточного значення регульованого параметра від заданого в кінці процесу регулювання, вона є, за винятком окремих випадків, небажаною, шкідливою. Чому вона виникає? Запишемо пропорційний закон регулювання (3.25) у диференціальному вигляді:

(3.30)

Тоді при постійному значенні ∆Х вихідна величина П – регулятора не змінюється, і в системі виникає статична похибка.

Вона залежить від величини коефіцієнта передачі регулятора; при збільшенні К_р похибка зменшується, але при К_р →∞ система втрачає стійкість.

Інтегральний закон регулювання позбавлений недоліку, пов'язаного з наявністю статичної похибки; системи з І-регуляторами мають лише одну точку рівноваги (такі системи називаються астатичними). Це можна показати, записавши вираз (3.26) у формі:

(3.31)

але лише в тому разі, коли ∆Х=0 (К_pi≠ 0). Проте в цьому випадку процес регулювання має більшу тривалість, що пояснюється необхідністю нагромадження значення ∆Х (інтегрування за часом).

Найбільш швидкодіючим, з ефектом "випередження", є Д - регулятор, але при його використанні регульована величина може займати довільне значення, навіть досить далеке від Х_зад, оскільки він не реагує на ∆X=const.

Використання комбінованих засобів дає можливість поєднати позитивні боки названих простих законів і значно поліпшити якість процесів регулювання в різних ситуаціях. Так, ПІ-регулятор позбавлений статичної похибки, проте є менш швидкодіючим, ніж П-регулятор. Це один з найпоширеніших регуляторів, а зміна настройок дозволяє змінювати в широкому діапазоні його властивості:наприклад, при Тi→∞ ПІ-регулятор перетворюється в П-регулятор.

При використанні ПІД-регуляторів процес регулювання форсується, зменшується відхилення X(t) від Х_зад (t) у динаміці, але ці регулятори мають три параметри настройки, вони складніші за всі попередні й, крім того, при експлуатації Д - складову потрібно обмежувати, щоб не виникало небажаних коливань при форсуванні процесу.

Дата добавления: 2014-01-07