Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Приведення системи лінійних рівнянь до жорданової форми




 

Процес відшукування рішення системи лінійних рівнянь починається з того, що система приводиться до жорданової форми.

Визначення. Жордановою формою системи (I.I) називається система лінійних рівнянь, що володіє наступними властивостями:

а) вона рівносильна системі (I.I)

б) у кожному рівнянні жорданової форми є така змінна, котра входить у це рівняння з коефіцієнтом 1, а в інші рівняння - з коефіцієнтом 0.

Так, якщо системі (I.I) рівносильна наступній системі лінійних рівнянь:

 

(1.2)

то (І.2) є жорданова форма для (I.I). При цьому змінні х1, х2,...,хк називаються базисними, останні змінні хк+1,..., хn називаються вільними. Жорданова форма завжди є сумісною системою лінійних рівнянь. Дійсно, система (І.2) має наступне рішення:

(І.3)

Оскільки система (І.2) рівносильна системі (І.І), то (І.3) є рішенням системи (І.І).

Таким чином, якщо для системи лінійних рівнянь (І.І) існує жорданова форма, то (І.І) - сумісна система. Несумісна система жорданової форми не має.

Покажемо, що будь-яку сумісну систему можна привести до жорданової форми. Це досягається методом Гауса-Жордана, який полягає в наступному.

Розглянемо перше рівняння системи (І.І). Виберемо в ньому змінну, коефіцієнт при якій відмінний від нуля. Припустимо, що а11 0. Поділимо рівняння на а11.

Одержимо рівняння

х1+ а12х2 + … + а1nхn = в1 (І.4)

 

Будемо змінну х1 робити базисною в жордановій формі. Для цього її потрібно вилучити з інших рівнянь системи. Щоб вилучити х1 із другого рівняння, помножимо рівняння (І.4) на -а21 і складемо із другим рівнянням. Потім вилучимо х1 із третього рівняння, для чого рівняння (І.4) помножимо на -а31 і складемо із третім рівнянням. Аналогічно змінна х1 вилучається з інших рівнянь. Таким чином, взявши за "ведуче" перше рівняння й провівши серію "жорданових вилучень", ми одержимо рівносильну (I.I) систему рівнянь, уякій x1 входить у перше рівняння з коефіцієнтом 1, а вінші рівняння - з коефіцієнтом 0.

Після цього вибираємо як ведуче друге рівняння отриманої системи. У цьому рівнянні беремо коефіцієнт, відмінний від нуля (нехай це коефіцієнт при х2), ділимо рівняння на цей коефіцієнт і потім виключаємо х2 із всіх інших рівнянь (у тому числі й з першого). Потім за відуче вибираємо третє рівняння й т.д.

Якщо на деякому кроці виникне рівняння виду

0∙ х1 + 0∙ х2 +... + 0∙ хn = 0 (І.5)

то вилучаємо його із системи. Якщо ж виникне рівняння виду

0∙ х1 + 0∙ х2 +... + 0∙ хn = b ≠ 0, то це свідчить про несумісність вихідної системи (І.І), а несумісна система до жорданової форми не приводиться.

Отже, метод Гауса-Жордана сумісну систему лінійних рівнянь приводить до жорданової форми, а у випадку несумісної системи виявляє несумісність.

Ясно, що вжордановій формі число рівнянь не може бути більше числа рівнянь у вихідній системі. Так, якщо система (1.2) є жордановою формою для системи (I.I), то , причому сувора нерівність має місце тоді, коли на деяких кроках жорданової процедури вилучалися рівняння виду (1.5).

Очевидно, та сама система може мати багато різних жорданових форм.

 

Приклад. Привести до жорданової форми

Виберемо як ведуче перше рівняння, а як базисну змінну - змінну х1. Поділимо перше рівняння на (-1) (коефіцієнт при х1), одержимо:

Помножимо це рівняння на (+5) і додамо до другого рівняння, потім помножимо його на (-3) і додамо до третього рівняння.

Одержимо систему:

 

Тепер зробимо ведучим друге рівняння, а базисною змінною - змінну . Поділивши друге рівняння на (-8) і виключивши з першого й третього рівнянь, одержимо систему:

Нарешті, у третьому рівнянні вибираємо за базисну змінну. Поділимо це рівняння на (-1) і виключимо з інших рівнянь. Одержимо жорданову форму:

Змінні є базисними, змінна - вільною.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 299; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.