КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Кутове прискорення
|
|
|
|
ВСТУП
Говорити про фізику можна дуже багато і це лише буде популярне ознайомлення з тим, чим займається фізика. Тому найважчою темою лекції з курсу фізики є вступна лекція, де за обмаль часу необхідно в стислій формі пояснити, що таке фізика, які основні етапи її розвитку, які сучасні досягнення, які проблеми і яке практичне застосування. Про предмет фізики мова піде дещо згодом. Але тут на доцільно навести історичний приклад одного фізичного відкриття.
Англійський фізик Максвел Джеймс Кларк (1831-1879) у 1865 завершив створення теорії електромагнітного поля, склав рівняння, які об’єднували всі відомі на той час електричні і магнітні явища. Це була, так звана, чиста фізика і з цих рівнянь, як наслідок, випливала наявність електромагнітних хвиль. В 1887 німецький фізик Генріх експериментально виявив наявність таких хвиль, використовуючи сконструйований ним електричний вібратор, який тепер називають вібратором Герца. Герц вважав, що його відкриття лише підтвердження теорії Максвелла. Герц сказав, що це відкриття не має ніякої користі, це тільки експеримент, який підтвердив, що маестро Максвел мав рацію. Ми все ж таки маємо таємничі електромагнітні хвилі, які не бачимо, але вони існують. А що ж далі, запитали Герца? Герц стиснув плечима і сказав: «Я вважаю – нічого». Не пройшло багато часу, і перша радіограма, передана російським вченим Поповим у 1986 р на відстань 250 м складалась з двох слів «ГЕНРІХ ГЕРЦ». Італійський вчений Марконі вперше здійснив радіозв’язок через Атлантичний океан. І ось тепер, коли ви користуєтесь послугами мобільного зв’язку знайте – це все завдяки фізиці і ваша «мобілка» використовує електромагнітні хвилі частотою 900 МГц, тобто у коливальному контурі «мобілки» за одну секунду відбувається дев’ятсот мільйонів коливань (між іншим, коливальний контур – це теж фізика).
Можна навести надзвичайно багато прикладів, де фізика буквально оточує наше життя.
Так що ж це за наука – фізика? Фізика (від грецького (physikos) – природа,наука, яка вивчає найбільш загальні властивості і форми руху матерії. В історичному плані до кінця 19 сторіччя сформувалась так звана класична фізика. Початок цієї класичної фізики був заснований Ньютоном в його основних законах динаміки. До кінця 19 сторіччя у фізиків склалось враження, що будь-яке фізичне явище можна пояснити на основі законів Ньютона. Навіть електромагнетизм та оптичні явища зводились до механічних властивостей особливого середовища, який ніби заповнює весь простір і це середовище назвали ефіром, від грецького aither – найтонша матерія. Згодом виявилось, що ніякого ефіру не існує, але термін «ефір» залишився – так, диктор радіо говорить – ми в ефірі. Так оце «згодом», що ефіру не існує, що класична фізика не може пояснити ряд явищ і вони навіть суперечать законам класичної фізики привело до того, що на початку 20 сторіччя формується нова фізика. Тут і квантова фізика, і релятивістська механіка теорії відносності Ейнштейна. Але нова фізика зовсім не відкидає стару класичну фізику, а включає її у себе як частковий випадок. Так, класична фізика, яка базується на законах Ньютона – це механіка макротіл, які рухаються зі швидкостями, значно меншими швидкості світла. Квантова механіка – це механіка мікросвіту, де діють особливі закони і класична механіки є частковим випадком квантової механіки.
Релятивістська механіка спеціальної теорії відносності стає звичайною класичною механікою Ньютона при швидкостях, значно меншими швидкості світла. Якщо б ми бігали з швидкостями, порівняними зі швидкістю світла і жили у мікросвіті (грались би електронами як м’ячиками), то для нас звичними були б закони релятивістської і квантової механік і важко було би зрозуміти закони Ньютона. Але факт є фактом – ми живемо у макросвіті і маємо справу з малими швидкостями. Тому спочатку курс фізики традиційної починається з класичної механіки. Дати основні уявлення про закони класичної механіки націлений даний конспект лекцій.
1 КІНЕМАТИКА
Кінематика (від грецького kinema – рух) – розділ механіки, який вивчає рух тіл, не з’ясовуючи причин цього руху. Основне завдання кінематики – це визначення у просторі положення тіла у будь який момент часу за допомогою відповідних рівнянь, які називаються кінематичними рівняннями, що здійснюється. Причиною руху тіл займається інший розділ механіки – динаміка.
1.1 Кінематика матеріальної точки
1.1.1 Система відліку
Механічний рух завжди відносний. Тому для опису руху даного тіла вибирають відповідну систему відліку, яка дає можливість визначити положення даного тіла в просторі у будь-який момент часу.
Система відліку – це тіла відліку, зв’язана з ними система координат з вказаним початком та годинник в цій системі.
Наприклад, тілом відліку може бути Земля, а система координат – це добре відома система меридіанів і паралель (рис.1.1.1 а).
Початкова точка такої системи розміщена на перетині екватору та нульового меридіану. Рішенням міжнародної комісії в 1884 році за нульовий меридіан прийнято меридіан, який проходить буквально по підлозі астрономічної лабораторії в Гринвічі. Фасад будівлі цієї обсерваторії показано на рис.1.1.1 б, де видно проведену лінію меридіану. Таким чином, будучи в Гринвічі, однією ногою можна стояти в східній, а другою – в західній півкулі Землі, як бачимо на рис.1.1.1 в.
В даний час все більш широкого застосування набувають супутникові системи відліку, де тілами відліку є спеціально виведені на навколоземну орбіту супутники. Прикладом цього є глобальна супутникова система визначення місцезнаходження GPS (Global Position System). Слід відмітити, що такі супутникові системи продовжують удосконалювати. Наприклад, користувачі системи GALILEO можуть визначати свої координати в будь якій точці Землі з точністю 4 м в горизонтальній площині і 8 м у вертикальній.
1.1.2 Матеріальна точка. Способи опису руху матеріальної точки
Матеріальна точка - поняття, яке вводиться в механіці для означення об’єкта, який розглядається як геометрична точка, що має масу. Нагадаємо, точка є одним з основних понять геометрії і означення точки не дається. Точка є геометричним абстрактним об'єктом, що має властивості тільки положення в просторі, але не має жодних інших. Важко розуміти, що точка не є матеріальним об'єктом, це просто місце. На кресленнях точку позначають за допомогою олівця, але це не є геометрична точка, а реальний фізичний об’єкт, який має малі, але все ж таки певні розміри. Часто кажуть, що фізикою є фізика плюс математика, а математикою є тільки математика. Математики, в принципі, можуть і не знати фізики (хоча вони її добре знають), а фізики мусять знати математику. Адже математика – це лаконічна мова фізики. Отже, в окремих задачах механіки особливого значення немає, як рухалась та чи інша частина тіла. Наприклад, поїзд проїхав 200 км. Чи має тут значення, яку відстань пройшов передній чи останній вагони? Звичайно, ні. Рух такого тіла фізик заміняє рухом однієї точки, називаючи її матеріальною. Тобто, чисто абстрактне поняття геометричної точки бере на себе «відповідальність» за опис руху матеріального об’єкта (в нашому прикладі поїзда).
Таким чином, тіло,розмірами якого за даних умов можна знехтувати, називають матеріальною точкою. Питання про те, чи можна дане тіло розглядати як матеріальну точку чи ні, не залежить від розмірів самого тіла, а від умов задачі. Так, навіть розглядаючи обертання Землі навколо Сонця, саму Землю в кінематиці її руху можна вважати матеріальною точкою.
Основне завдання кінематики – визначити положення тіла у просторі в будь який момент часу відносно вибраної системи відліку. Звичайно, що найпростіше визначати положення в просторі матеріальної точки, яке здійснюється такими способами:
– векторний спосіб
Вибирають тіло відліку, з яким зв’язують початок радіуса-вектора 
рис.1.1.2. Тоді положення матеріальної точки М в просторі визначається кінцем радіуса-вектора . В такому випадку рух точки задається рівнянням залежності радіуса-вектора від часу
. (1.1.1)
– координатний спосіб
З тілами відліку зв’язують системи координат, наприклад, Декартові. Так, на рис 1.1.3 показано міську ратушу Івано-Франківська з годинником, яку вибирають за тіло відліку і з цим тілом зв’язують систему координат, направляючи вісь Z вертикально вгору.
Будемо визначати положення повітряної кулі, вважаючи її матеріальною точкою. Положення кулі у вибраній системі відліку задається такими рівняннями залежності координат від часу:
(1.1.2)
Такі рівняння називаються кінематичними рівняння руху матеріальної точки. Якщо з початком системи відліку зв’язати початок радіуса-вектора, що визначає положення тіла просторі, то цей радіус – вектор (рис.1.1.3) можна визначити через координат точки, а саме
, (1.1.3)
де 
– одиничні вектори (орти).
– природний спосіб опису руху
Якщо наперед відома траєкторія матеріальної точки, то відкладаючи на цій траєкторії шлях S (відстань), який пройшла ця точка за час t, можна визначити положення точки на цій траєкторії. Такий метод опису руху називається природний. Звичайно, для такого способу опису руху траєкторія руху як лінія, вздовж якої рухається тіло, повинна бути зв’язана з тілами відліку, фіксована в просторі і обов’язково повинен бути вказаний початок відліку (нульова точка). Це, наприклад, може бути навіть стежка в полі, яка починається біля будинку (будинок – початок відліку), річка, по якій пливе човен (пристань – початок відліку), залізнична колія (вокзал – початок відліку), заданий коридор польоту літака (аеропорт – початок відліку) і т.д. Так, на рис.1.1.4 показано ділянку дороги з Судака в Алушту, тобто траєкторія руху автомобілів, як матеріальних точок, де за початок відліку приймаємо Судак. 
Тоді при такому способі опису руху положення матеріальної точки в просторі (на траєкторії) задається залежністю шляху від часу
. (1.1.4)
На географічних або топографічних картах відповідними лініями позначаються шосейні та залізні дороги, ріки і т.д і це, по суті, траєкторії, по яких рухаються тіла як матеріальні точки. Щоб знайти довжину цих ліній використовують спеціальні пристрої, які називають кривометрами (вимірюють довжину кривої ліній). На рис.1.1.5 показано сучасний електронний кривометр. На кінчику такого приладу знаходиться індикатор переміщення приладу по карті або схемі. Електронна система відслідковує рух приладу і в заданому масштабі на дисплеї самого приладу або комп’ютера подає значення довжини кривої в необхідних одиницях (метрах, кілометрах, милях і т.д.).
1.1.3 Рівномірний рух. Швидкість рівномірного руху
Ми інколи звикаємо до деяких понять, які нам здаються зрозумілими і очевидними. Наприклад, говорячи про рівномірний рух, ми розуміємо, що це рух зі сталою швидкістю. Наприклад, за кожну секунду тіло проходить 10 м. Чи буде такий рух рівномірним? А якщо протягом 0,3 с тіло рухалось повільно, а потім 0,7 с швидко і загалом за 1 с пройшло шлях 10 м, то чи буде такий рух рівномірним? Добре, нехай за кожну 0,1 с шлях становить 1 м, то чи буде такий рух рівномірним? Адже не виключено, що протягом 0,2 с рух повільний, а за наступні 0,8 с, більш швидкий, і т.д., тобто переходимо до часу 0,01 і т.д. Таким чином, якщо за будь-які рівні проміжки часу, якими б вони не були малими, тіло проходить однакові відрізки шляху, то такий рух називаємо рівномірним і для такого руху відношення шляху до часу, за який цей шлях пройдено, є величина стала і це відношення називається швидкістю рівномірного руху (точніше модуль швидкості).
. (1.1.5)
Отже, рівняння кінематики рівномірного руху при природному способі опису руху запишеться:
(1.1.6)
або
, (1.1.7)
де 
– відстань від початку відліку в момент часу
.
Ще раз підкреслимо, що ці рівняння „працюють” тільки тоді, коли відома траєкторія руху. Наприклад, тіло рухається з швидкістю 10 м/с і за час 10 с пройшло шлях 100 м. В якому напрямі рухалось тіло? Для цього треба знати траєкторію руху. Напрям руху автоматично випливає з векторного способу опису цього руху – в якому напрямі вектор переміщення – в такому ж напрямі і рух. Швидкість є векторною величиною і для рівномірного руху вектор швидкості – фізична величина, яка пропорційна вектору переміщення і обернено пропорційна тому часу, за який відбулось це переміщення
. (1.1.8)
Ввівши таким чином поняття вектора швидкості, приходимо до важливого висновку – рівномірним рухом може бути тільки прямолінійний рух, коли швидкість не змінюється не тільки за величиною, але і за напрямом.
Щоб розрізнити швидкість як вектор, і швидкість як скалярну величину в англійській мові існують два терміни “speed” та “velocity” Перший термін стосується тільки числового значення швидкості, (згадаємо спідометр в машині, який не вказує напрям руху автомобіля, а тільки числове значення швидкості). Другий термін стосується вже напряму швидкості, як векторної величини. В українській мові теж була спроба ввести два терміни, але ці терміни не прижились.
1.1.4 Нерівномірний рух. Середня швидкість. Миттєва швидкість
Якщо за рівні проміжки часу 
тіло проходить не однакові відрізки шляху 
, то такий рух називається нерівномірний і відношення
(1.1.9)
визначає середню швидкість.
Чим менший час , тим менше нерівномірний рух відрізняється від рівномірного, і лише в границі, коли 
, рух можна вважати рівномірним. Отже, миттєва швидкість буде математично визначатись як межа, до якої прямує середня швидкість при і як відомо ця границя дає першу похідну від шляху по часу
(1.1.10)
Таким чином, якщо рух матеріальної точки задається відповідною математичною функцією залежності шляху від часу, то миттєва швидкість в будь який момент часу визначається похідною від шляху по часу.
Якщо ж визначати миттєву швидкість як вектор, то маємо аналогічний математичний запис, де замість беремо вектор 
(1.1.11)
Тобто, вектор миттєвої швидкості визначається як перша похідна радіуса-вектора по часу.
Ввівши поняття вектора миттєвої швидкості, легко показати, що при криволінійному русі цей вектор є дотичний до траєкторії.
Дійсно, розглянемо рис.1.1.6, де вказані переміщення за різні проміжки часу, які послідовно зменшуються.
Чим менший проміжок часу 
, тим менше переміщення 
, тобто 
, і все більше середня швидкість 
, яка співпадає з , яка і є хордою дуги, наближається до самої дуги. І лише в границі, коли , маємо нескінченно мале переміщення 
, яке співпадає з дугою і дотичною, отже, вектор миттєвої швидкості 
є дотичний до траєкторії.
Всі вище наведені приклади стосуються знаходження миттєвої швидкості за заданою функцією шляху від часу 
, або вектора переміщення від часу 
.
Тепер розглянемо важливу зворотну задачу – відома залежність швидкості від часу, необхідно визначити шлях, пройдений тілом за цей час.
Нехай залежність швидкості від часу задана деякою функцією 
, графік якої наведений на рис.1.1.7.
Так як швидкість змінюється, то спочатку визначимо шлях 
, який пройде тіло за час 
, протягом якого рух можна вважати рівномірним.
Згідно 1.10 цей елементарний відрізок шляху дорівнює
. (1.1.12)
Легко бачити, що такий шлях чисельно дорівнює площі заштрихованої смужки. Весь шлях буде рівний інтегральній сумі
. (1.1.13)
Ця інтегральна сума чисельно дорівнює сумі площ таких елементарних смужок, тобто в загальному площі криволінійної фігури.
1.1.5 Рівнозміний рух. Прискорення. Змінний рух. Миттєве прискорення
Якщо за будь-які, але рівні проміжки часу швидкість за модулем змінюється на одну і ту ж величину, то такий рух називається рівнозмінниим – (рівноприскореним або рівносповільненим). Для такого руху відношення зміни швидкості 
до часу , за який відбулась ця зміна, є величина стала, називається прискоренням
(1.1.14.)
і вимірюється в м/с2.
Якщо ж за рівні проміжки часу маємо різну зміну швидкості, то такий рух змінний і тоді відношення (1.1.17) визначає середнє прискорення
(1.1.15)
Чим менший проміжок часу, тим менше змінний рух відрізняється від рівно змінного, тому миттєве прискорення буде визначатись як математична границя, до якої прямує середнє прискорення і границя буде першою похідною від швидкості по часу
. (1.1.16)
Тому, якщо відома функція залежності швидкості від часу, то миттєве прискорення знаходиться як перша похідна від швидкості по часу.
Так як 
, то прискорення є другою похідною від шляху по часу
. (1.1.17)
Переходячи до векторного способу опису руху, який визначає не тільки модулі кінематичних величин, але і напрями цих величин, прискорення теж буде векторною величиною. Так, для вектора середнього прискорення будемо мати
. (1.1.18)
Це означає, що вектор прискорення за напрямом співпадає з напрямом векторної зміни швидкості.
Для миттєвого прискорення за аналогією з 1.1.19 маємо
. (1.1.19)
Отже, вектор миттєвого прискорення визначається як перша похідна від вектор швидкості по часу. Приймаючи до уваги, що вектор миттєвої швидкості є першою похідною від вектора переміщення, отримаємо значення вектора миттєвого прискорення як другої похідної від радіуса-вектора по часу
(1.1.20)
1.1.6 Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення
Якщо матеріальна точка рухається по довільній кривій, то вектор швидкості, який дотичний до траєкторії руху, змінює свій напрям. Крім того, швидкість може змінюватись і за модулем. Отже, приходимо до висновку, що при криволінійному русі існує два прискорення: одне характеризує зміну швидкості за напрямом, а друге – за модулем. Тепер залишається математично описати наявність цих прискорень і такий опис пропонується зробити наочним, послідовно простежуючи, що «відбувається» з векторними кінематичними величинами, як це вказано на рис.1.1.8.
Отже, як видно з рисунку 1.1.8, повна векторна зміна швидкості дорівнює векторній сумі
(1.1.21)
і тоді середнє прискорення становить
. (1.1.22)
щоб визначити миттєве прискорення необхідно перейти до границі, коли 
. (1.1.23)
Тобто, вектор повного прискорення дорівнює векторній сумі двох прискорень, де перша границя визначає прискорення, що характеризує зміну швидкості за напрямом, а друга за величиною. А тепер визначимо напрям цих прискорень. Для цього необхідно визначити напрями векторів 
, 
коли вони стають нескінченно малими «перетворюються» в 
. Таке «перетворення» ілюструє рис.1.1.9 а, коли відстань між точками 1 та 2 з стає нескінченно малою, відповідно кут між першим і другим векторами складає нескінченно малу величину 
. Звичайно, рисунок умовний, на якому неможливо показати нескінченно малі величини, але будемо вважати, що показані на такому рисунку вектори 
є нескінченно малими.
А кому «належать» вектори ? На рис 1.1.9 а вони ніби «висять» в повітрі, але ж вони характеризують зміни швидкостей при переміщенні від точки 1 до точки 2, які в границі стають нескінченно близькими, кут стає нескінченно малим. Отже, початок векторів повинен бути в точці 1, як це вказано на рис 1.1.9 б.
При нескінченно малому куті нескінченно малий вектор 
, який характеризує зміну швидкості за напрямом, стає перпендикулярним (нормальним) до вектора швидкості. Отже,прискорення, яке визначає зміну швидкості за напрямом, буде перпендикулярним, або нормальним, до вектора швидкості. Звідси назва – нормальне, перпендикулярне і позначається 
.
. (1.1.24)
При нескінченно малому куті нескінченно малий вектор 
, який характеризує зміну швидкості за величиною, співпадає зі швидкістю або з дотичною до траєкторії. Тому прискорення, що характеризує зміну швидкості за величиною, буде дотичними до траєкторії. Звідси назва – дотичне, або тангенціальне прискорення. Позначається 
.
. (1.1.25)
Так як вектор 
визначає повну зміну швидкості, де входить зміна швидкості за напрямом і величиною, вектор повного прискорення, як легко зрозуміти з рисунку, дорівнює векторній сумі нормального та тангенціального прискорень
, (1.1.26)
aбо у скалярній формі модуль повного прискорення дорівнює
. (1.1.27)
Добре, це все теорія. Але як це все виглядає насправді, тобто як визначити миттєве, тангенціальне, нормальне та повне прискорення точки саме в даній точці траєкторії?
Якщо швидкість за модулем не змінюється, то взагалі відпадає питання про тангенціальне прискорення – його просто немає. Якщо ж, наприклад, швидкість за модулем змінюється згідно закону 
, то взявши похідну по часу отримаємо миттєве тангенціальне прискорення, яке не залежить від траєкторії руху точки. Інша справа – нормальне прискорення, адже навіть коли швидкість за модулем не змінюється, то при криволінійному у русі швидкість змінюється за напрямом і чим «крутіша» траєкторія, тим більша ця зміна. Отже, в значення миттєвого нормального прискорення крім самої швидкості повинна входити ще одна величина – радіус кривизни траєкторії в даній точці. Нагадаємо, що радіус кривизни траєкторії – це радіус такого кола, елементарна дуга якої ds співпадає елементарною дугою ds даної кривої в даній точці. Так, на рис.1.1.9 а радіус кривизни траєкторії в точці 1 дорівнює радіусу r відповідного кола.
Модуль миттєвого нормального прискорення буде визначатись похідною
. (1.1.38)
За нескінченно малий проміжок часу dt вектор швидкості 
повернеться на нескінченно малий кут і тому модуль зміни швидкості за напрямом буду становити
. (1.1.29)
За цей самий час dt точка пройде елементарну дугу ds кола радіусом r і цей радіус повертається на кут і тому
. (1.1.30)
З 1.1.6.7 та 1.1.6.8 маємо, що модуль зміни швидкості за напрямом при русі зі швидкістю v по елементарній дузі ds радіуса кривизни r дорівнює
. (1.1.31)
Підставивши це значення в і враховуючи, що похідна від шляху по часу 
визначає миттєву швидкість v, отримуємо відому формулу так званого доцентрового прискорення, яке є нормальним прискоренням, напрямлене перпендикулярно до швидкості або до центра кривизни траєкторії, по якій рухається матеріальна точка
. (1.1.32)
А тепер доцільно розглянути окремі випадки руху, які ілюструють тангенціальне, нормальне та повне прискорення.
1. Тіло рухається прямолінійно. Швидкість змінюється лише за величиною. Отже, маємо чисто тангенціальне прискорення.
2. Точка рівномірно рухається по колу. Швидкість за величиною не змінюється, змінюється тільки напрям вектора швидкості. Отже, тут маємо справу з чисто нормальним прискоренням.
3. Точка рухається по кривій, змінюючи модуль і напрям швидкості, отже є і тангенціальне і нормальне прискорення. Прикладом такого руху може бути рух тіла, кинутого горизонтально, про що буде детально йти мова у відповідній задачі про визначення нормального і тангенціального прискорення саме для такого руху.
1.2 Абсолютно тверде тіло та число ступенів його свободи
Хто з захопленням не спостерігав за фігурами вищого пілотажу, які здійснюють льотчики – аси, де керовані ними сучасні реактивні літаки здійснюють неймовірні повороти, так званні «бочки», піке з переходом на мертву петлю і т.п.
З точки зору кінематики літак являє собою абсолютно тверде діло, яке здійснює складний рух. Нагадаємо, що абсолютно твердим тілом в механіці вважають таким, відстані між будь якими двома точками не змінюється.
Всі попередні розділи стосувались кінематики матеріальної точки, положення якої в просторі визначається трьома координатами. А як визначити положення твердого тіла, яке є системою багатьох точок. Тоді, якщо тіло є системою з 1000 або більше точок то чи треба стільки ж кінематичних рівнянь? А чи не можна спростити поставлене завдання – визначити положення твердого в просторі за допомогою мінімального числа координат і так, щоб ці координати незалежно від числа частинок в твердому тілі однозначно визначали його положення в просторі.
Для прикладу розглянемо тверде тіло у вигляді трикутника (рис. 1.2.2). 
Тіло рухається в просторі відносно вибраної нами «нерухомої» системи відліку з координатами X,Y,Z. З самим тілом, як з тілом відліку, зв’яжемо іншу систему координат X´,Y´,Z´ початок якої(точка О) знаходиться в центрі мас даного тіла. Нехай спочатку початки систем X,Y,Z та X´,Y´,Z´ та їх осі співпадають, як вказано на рис. 1.2.2. Будь-яке складне переміщення в просторі твердого тіла можна розглядати як сукупність окремих переміщень або рухів. Так, якщо будь-яка пряма, проведена в тілі при його русі залишається паралельно сама собі, то такий рух називають поступальним. Такий поступальний рух ілюструє рис. 1.2.2 а:
1 - паралельне переміщення вздовж осі X.
2 -паралельне переміщення вздовж осі Y.
3 -таке ж паралельне переміщення вздовж осі Z. Положення в просторі центра мас твердого тіла як матеріальної точки визначається трьома лінійними координатами X, Y, Z. При поступальному русі тіла всі його точки рухаються однаково (однаково змінюються всі координати X, Y, Z) і тоді положення твердого тіла в просторі можна визначити трьома координатами будь-якої точки даного тіла.
Крім поступального руху, тіло може здійснювати обертання, і для опису такого руху додаткові координати. Знову ж таки, нехай спочатку системи X, Y, Z та X´, Y´, Z´ та їх осі співпадають (рис. 1.2.2 б). Будь-який поворот у просторі твердого тіла можна подати як послідовність трьох незалежних поворотів, трьох обертань відносно трьох осей обертання, роль яких виконують осі X, Y, Z.
4 -обертання відносно осі X і таке обертання визначається кутовою координатою φ х.
5 - кутова координата φ y визначає обертання відносно осі Y.
6 -обертання відносно вісі Z, що характеризується відповідною кутовою координатою φ z.
Таким чином, положення в просторі твердого тіла визначається шістьма координатами – трьома лінійними, які визначають положення центра мас тіла та трьома кутовими, що характеризують обертання цього тіла. Тілу дана своєрідна «свобода» у його переміщенні в просторі і ця свобода визначається мінімальним число незалежних координат, що визначають положення тіла в просторі, які отримали назву – числа ступенів свободи.
У даний час поняття числа ступенів свободи набуло особливо актуального значення у проектуванні та виготовленні механізмів, які називають маніпуляторами або навіть роботами. Основою маніпуляторів є механізми з багатьма ступенями свободи. Маніпулятори можуть виконувати роботи в середовищах або умовах, які недоступні для людини. Так, на рис.1.2.3 показано марсохід, який досліджував у автоматичному режимі поверхню Марса.
Цей марсохід надзвичайно складний апарат, який поєднує сучасну комп’ютерну техніку з найсучаснішою механічною частиною для його переміщення з так званою механічною рукою для взяття проб ґрунту. Звичайно, що такий марсохід як механічна система володіє великою кількістю ступенів свободи. Але з точку зору машин і механізмів людина, її біомеханіка є особливою механічною системою з величезним числом ступенів свободи. Для прикладу розглянемо спрощену модель ходьби людини, що схематично вказано на рис.1.2.4. Показаний лише один елемент ходьби у випадку опори на праву ногу (потім опорною буде ліва нога).
Будемо вважати, що тулуб людини здійснює поступальний рух і визначення положення центра мас (точка 1) тулуба достатньо три координати. Так само необхідно по три координати для визначення центра мас стегна (точка 2), гомілки (точка 3) та ступні (точка 4). Разом з тим, на рух центрів мас вказаних частин тіла припадає 12 ступенів свободи. Крім того, стегно, гомілка та ступня ноги повертаються. Якщо брати до уваги обертання лише в одній площині, то для лівої ноги необхідно ввести ще три кутові координати, а для правої опорної достатньо однієї кутової координати. Така, навіть спрощена, механічна модель ходьби людини має 16 ступенів свободи. 
А тепер уявіть, яке загальне число ступенів свободи людського тіла. Самі проаналізуйте можливі рухи пальців руки – Ви нарахуєте не менше 14 ступенів поступального руху та 42 ступені свободи обертального руху. Недарма говорять, що рука людини – найдосконаліший механізм і навіть є приказка «руки все зроблять». Всіма цими рухами керує рефлекторна нервова система, яка знаходиться у спинному мозку, який є своєрідним комп’ютером, що здійснює механічні рухи. На щастя, природа потурбувалась про те, щоб ми не думали як треба підняти ногу і зігнути її, щоб здійснити крок. Ми бачимо, наприклад, перешкоду і її треба переступити. Око бачить цю перешкоду, дає сигнал нервовій системі і ця система вже без нашого відома мовою сучасної техніки аналізує цей сигнал і дає команду відповідним м’язам здійснити необхідні скорочення – підняти ногу, зігнути і т.п. Сучасні маніпулятори теж здійснюють подібні операції – наприклад, механічна рука, де роль м’язів виконують електродвигуни або гідравлічні системи, а керують ними комп’ютери. Згадайте фільм «Термінатор», коли рухалась лише металева механічна частина робота, а його основною частиною був чіп, який, по суті, був і головним і спинним мозком термінатора.
Отже, розглядаючи ступені свободи тіла, було виділено два основні рухи – поступальний та обертальний. Якщо в попередніх розділах в основному йшла мова про рух матеріальної точки, яким можна описати і поступальний рух твердого тіла, то на питанні обертального руху необхідно зупинитись більш докладно. Тому наступний розділ якраз і буде стосуватись кінематики обертального руху.
1.3 Кінематика обертального руху твердого тіла
1.3.1 Обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання. Вектор кутового переміщення. Кутова швидкість. Кутове прискорення.
Найпростіший випадок обертального руху твердого тіла – це рух відносно нерухомої в просторі вісі обертання. Дійсно, при такому русі всі точки тіла описують кола, центри яких лежать на одній нерухомій прямій, яка називається віссю обертання (рис. 1.3.1). Очевидно, що при такому обертальному русі твердого тіла радіус кіл всіх точок тіла за той же час повертаються на один і той же кут. Отже, для опису обертального руху і вісі обертання достатньо однієї кутової координати, однієї ступені свободи.
Кут повороту φ радіуса кола будь якої точки – скалярна величина. Але напрям обертання може бути довільним. Тому для характеристики обертального руху вводиться поняття вектора кутового переміщення. Цей вектор проводять вздовж вісі обертання і його напрям визначають за правилом свердлика (правого гвинта) або правилом правої руки. Застосування цих правил легко зрозуміти з рис.1.3.1. Модуль вектора переміщення чисельно дорівнює куту повороту, радіус кола будь якої точки твердого тіла при його обертанні.
Але вводячи поняття вектора кутового переміщення, треба мати на увазі, що такий вектор не є істинним або, ще кажуть, псевдовектор. Дійсно, при обертанні твердого тіла в напрямі осі обертання ніщо не переміщається, просто домовились проводити такий вектор, напрям якого визначаємо за правилом свердлика. Зовсім інша справа з вектором переміщення точки або тіла. Якщо тіло рухається в даному напрямі, то такий напрям дійсно є і напрямом вектора переміщення, хочемо цього чи не хочемо без всяких домовленостей мусить співпадати з напрямом переміщення, він «належить» тілу і такий вектор переміщення є істинним. А якій точці тіла, що обертається, «належить» вектор кутового переміщення, в якій точці початок цього вектора? Вектор кутового переміщення не зв’язаний ні з однією точкою тіла, а початок його можна брати де завгодно - як вам подобається, навіть і за кілометр від тіла, лиш би співпадав з віссю обертання. Тому вектор кутового переміщення ще інколи називають коаксіальним (від латинського axis-вісь), тобто співпадає з віссю обертання. Хоча вектор кутового переміщення не істинний, а придуманий, це не «позбавляє» його приймати участь в усіх правилах векторної алгебри і по суті описувати кінематику обертового руху. Дійсно, адже в математичних формулах кінематики обертального руху необхідно враховувати напрям обертання і тут незамінним стає вектор кутового переміщення.
Якщо за будь-які, але рівні проміжки час, якими вони не були б малі, тіло, що обертається, здійснює однакові кутові переміщення, то такий обертовий рух буде рівномірним і фізична величина, яка пропорційна вектору кутового переміщення до часу, за який здійснене таке переміщення називається кутовою швидкістю і позначається ω і вимірюється в рад ⁄с.
. (1.3.1.)
Так як кутове переміщення – вектор, то, відповідно, кутова швидкість теж буде вектором, що співпадає з вектором переміщення, тобто вздовж вісі обертання. А що стосується початку цього вектора, то початок можна брати де завгодно (як вам зручно для рисунку).
Звичайно, щоб визначити вектор кутової швидкості спочатку знаходять його модуль
. (1.3.2)
Час, за який тіло при обертальному русі здійснює один повний оберт, називається періодом обертання.
За час Т, рівний періоду обертання, кут повороту становитиме 
, тому кутову швидкість через період обертання визначається наступною формулою
. (1.3.3)
Величина, обернена періоду обертання називається частотою обертання і дорівнює числу обертів, яке здійснює тіло за одиницю часу при рівномірному обертанні
. (1.3.4)
На практиці часто визначають частоту обертання в обертах за хвилину. Особливо це стосується роботи двигунів, турбін і т.п.
Знаючи частоту обертання, легко визначити кутову швидкість
. (1.3.5)
Якщо за час 
при нерівномірному обертальному русі кутове переміщення становитиме 
то відношення цього переміщення до часу, за який відбулось таке переміщення визначає середню кутову швидкість
. (1.3.6)
Чим менший проміжок часу, тим менше нерівномірний рух відрізняється від рівномірного і в границі, коли проміжок часу стає нескінченно малий, миттєва швидкість визначається як похідна від кутового переміщення по часу
. (1.3.7)
Якщо за будь які, але рівні проміжки часу кутова швидкість змінюється за модулем на одну і ту ж саму величину, то такий рух буде рівнозмінним, рівноприскореним або рівносповільненим (порівняйте з означенням рівнозмінного руху матеріальної точки на ст.) Відношення зміни кутової швидкості до часу, за який відбулась така зміна, називається кутовим прискоренням
. (1.3.8)
Одиниця вимірювання кутового прискорення рад ⁄ с2.
У загальному випадку, коли рух є змінним (змінюється саме кутове прискорення), то миттєве кутове прискорення буде визначатись як границя, до якої прямує середнє прискорення за умови
, (1.3.9)
тобто миттєве кутове прискорення є першою похідною від кутової швидкості по часу. Так як в свою чергу кутова швидкість – це похідна від кута повороту по часу, то можна записати, що кутове прискорення є другою похідною від кутового переміщення по часу
. (1.3.10)
Всі попередні формули кутової швидкості та кутового прискорення записані у скалярній формі, які визначають абсолютне значення цих величин. Але враховуючи, що кутове переміщення є вектором (точніше псевдовектором), то, відповідно, кутова швидкість та прискорення теж будуть векторами (точніше псевдо або коаксіальними)
, (1.3.11)
. (1.3.12)
Так, на рис. 1.3.1 вказаний вектор кутової швидкості, який має той самий напрям, що і вектор кутового переміщення. Що стосується вектора кутового прискорення, то у випадку прискореного руху він буде співпадати з напрямом векторної зміни кутової швидкості, а якщо рух сповільнений, то напрям вектора кутового прискорення протилежний.
1.3.2. Зв'язок між кутовими і лінійними кінематичними величинами обертального руху
Важлива практична задача, знаючи кутові кінематичні величини обертового руху, наприклад, кутову швидкість (рад ⁄с,) та прискорення (рад ⁄с2), перейти до лінійних величин (м ⁄с та м ⁄с2). Наприклад, точка тіла, яке обертається, знаходиться на відстані r від осі обертання. За час радіус повернеться на кут 
, а точка пройде дугу рис. 1.3.3.
Тоді лінійна швидкість визначиться, як похідна від шляху по часу, а враховуючи, що 
будемо мати
, (1.3.13)
тобто отримали в скалярній формі зв’язок між лінійною та кутовою швидкостями. Тепер встановимо цей зв’язок у векторній формі. Наприклад, точка рухається по колу і її положення задається радіусом-вектором. Лінійна швидкість, як вектор, дотична до кола, а напрям вектора кутової швидкості, як вказано на рис. 1.2.2.2 визначається за правилом правого гвинта.
Як видно з рис. 1.3.2., маємо трійку перпендикулярних векторів 
і згідно правил векторної алгебри можливий лише один векторний добуток
. (1.3.14)
Якщо при обертальному русі має місце кутове прискорення 
, то це приводить до зміни лінійної швидкості, до появи тангенціального прискорення 
, зв’язок між якими легко встановити. Враховуючи, що 
, а 
, то при 
, будемо мати
. (1.3.15)
Між рівняннями кінематики поступального та обертального рухів існує аналогія. Так, якщо для поступального руху тіла залежність шляху S від часу t задається відповідним рівнянням 
, то кінематичне рівняння обертового руху визначає залежність кута повороту φ від часу t, тобто 
. Потім, якщо лінійна швидкість – похідна від шляху по часу, то кутова швидкість – похідна від кута повороту від часу і т.д. На сторінці…. наведено порівняльну таблицю лінійних і кутових кінематичних величин.
1.4 КІНЕМАТИКА ВІДНОСНОГО РУХУ. ПЕРЕНОСНЕ ПРИСКОРЕННЯ. ПРИСКОРЕННЯ КАРІОЛІСА
Вводячи поняття швидкості та прискорення ми «по замовчуванню» вважали, що система відліку, де знаходиться дане тіло є нерухомою. Така система, як буде вказано згодом, називається інерціальною (див. розділ 2). А що буде коли вибрана нами система рухається відносно іншої системи? Таке питання має надзвичайно важливе практичне значення і відповідь на поставлене питання дає кінематика відносного руху. А тепер така кінематика відносного руху у жанрі відомого бойовика про Джеймса Бонда – секретного агента 007, який виходить цілим збудь яких перепалок. Так ось, гангстерам все ж таки вдалось упіймати Джеймса і запроторити його в залізний ящик і кинути з крутої скелі. Далі все як у справжньому бойовику. Агент 007 все ж таки в останній момент встигає вибратись з ящика і на нього вже чекає човен (ви його бачите біля підніжжя скелі) та чарівна блондинка. А тепер все з точки фізики. Скеля – це тіло відліку, з яким зв’язують систему координат XYZ. Будемо вважати таку систему відліку нерухомою (спробуйте зрушити скелю). Залізний ящик і зв’язана з ними система координат X´Y´Z´ утворюють рухому систему відліку, де перебуває Джеймс Бонд, якого ми (вибачте, агент) вважаємо матеріальною точкою Р (рис 1.4.1).
У кінематиці відносно вибрану за нерухому систему відліку називають основною системою, відносно якої рух тіла або матеріальної точки вважаємо абсолютним рухом, а швидкість будь якої точки відносно даної системи називають абсолютною швидкістю.
Положення точки Р в просторі відносно основної системи відліку визначається радіусом – вектором 
(див. рис.1.4.1). Тоді абсолютна швидкість цієї точки буде першою похідною від такого вектора переміщення по часу
. (1.4.1)
Відносно системи X´Y´Z´ положення точки Р визначається радіусом вектором 
. Що стосується самої системи X´Y´Z´, то її початок (точка О´) задається вектором 
. Легко бачити, що
. (1.4.2)
Тоді згідно (1.2.3.1) можна записати
. ( 1.4.3)
Таким чином, абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі двох швидкостей. Перший доданок визначає швидкість відносно рухомої системи тому, така швидкість отримала назву відносна швидкість
. (1.4.4)
Другий доданок, що визначає швидкість рухомої системи називають переносною швидкістю
. (1.4.5)
Отже, абсолютна швидкість точки дорівнює сумі її переносної та абсолютної швидкостей
. (1.4.6)
Цей результат, який, правда, без математичного доведення передбачив Галілей, називають галілеєвим законом додавання швидкостей. Особливо цей закон є самоочевидним, коли швидкості напрямлені по одній прямій (див. Приклади задач з додаванням швидкостей – човен за течією ріки або проти).
Поки що зі швидкостями ніби все вияснили. А тепер що буде у випадку зміни швидкостей, у випадку прискорень.
Похідна від абсолютної швидкості по часу буде, відповідно, визначати абсолютне прискорення
. (1.4.7)
Тобто, повне прискорення дорівнює сумі відносного 
та переносного 
прискорень
. (1.4.8)
В найбільш простому випадку, коли переносне прискорення відсутнє 
, тоді абсолютне прискорення дорівнює відносному. Це можливо тоді, коли система відліку переребуває стані спокою або приймає участь в рівномірному прямолінійному русі. Ніби простий, але дуже важливий результат: прискорення тіла є однаковим в усіх системах відліку, які рухаються одна відносно іншої з сталою швидкістю або знаходяться в стані спокою. Забігаючи наперед, ми майже сформулювали механічний принцип відносності Галілея, згідно якого всі закони механіки однакові в усіх інерціальних системах відліку, тобто які є в стані спокою або рухаються зі сталою швидкістю (див. розділ…).
А що буде, коли система X',Y,'Z', як це вказано на рис.1.4.2 обертається і в цій системі рухається тіло? Напевне Ви відчували щось особливе, коли обертаючись на каруселі намагались пересісти з одного місця на інше, Вас кудись «заносило» в сторону. В курсах теоретичної механіки та в курсах фізики спеціально для фізиків наводиться строгий математичний вивід кінематики такого руху і встановлюється, що тіло, яке рухається зі швидкістю v в системі, яка обертається з кутовою швидкістю ω зазнає особливого прискорення. Це прискорення отримало назву каріолісового прискорення (фр. учений Каріоліс) і вектор цього прискорення дорівнює
(1.4.9)
А тепер спробуємо отримати значення цього прискорення, звертаючи основну увагу на фізику явища з мінімумом математики. Хоча такий вивід не буде строго математичним, але дасть змогу вияснити – чому саме при русі тіла в системі, що обертається виникає особливе прискорення і це особливе прискорення зовсім немає відношення до нормального (доцентрового) прискорення.
Отже, Ви (вже не Джеймс Бонд) знаходитесь в центрі системи, що обертається – на самому краю дна ящика (не хвилюйтесь, ніхто ящик кидати не буде, з таким же самим успіхом можна навести приклад з каруселлю, де Ви намагаєтесь рухатись подалі від центра).
Якщо Ви зробили від центра крок довжиною 
вздовж радіуса кола, «кінчик» цього вектора почав обертатись, адже система обертається. Швидкість обертового,а не поступального руху вашої ноги, де знаходиться кінчик вектора зросла на 
. Використовуючи зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями можна записати
. (1.4.10)
Якщо тривалість кроку 
, то зміна швидкості за час буде визначати прискорення, яке перпендикулярне до напряму вашого руху і не напрямлене до центра
. (1.4.11)
А що визначає похідна від по часу ? Звичайно – швидкість 
Вашого руху (строго кажучи, швидкість матеріальної точки, що рухається по прямій від центра обертання). Тому
. (1.4.12)
Але це ще не все, сам вектор швидкості 
за часповертається на кут 
і тоді зміна швидкості 
за напрямом викликана таким поворотом як (елементарна дуга кола) дорівнює
, (1.4.13)
так як
, (1.4.14)
то
. (1.4.15)
Похідна по часу дає ще одне значення прискорення
. (1.4.16)
Отже, повне прискорення тіла, що рухаються в обертовій системі відліку дорівнює
. (1.4.17)
Наш вивід не є математично строгим, але розкриває фізичний зміст появи особливого каріолісового прискорення. А саме, якщо матеріальна точка рухається зі швидкістю 
в системі координат, що обертається з кутовою швидкістю 
, то:
1. Чим більша відстань від центра обертання, тим більша лінійна швидкість обертання. Тобто, маємо зміну швидкості, викликану лише переміщенням точок.
2. При обертанні системи, разом з системою обертається вектор швидкості точки. Отже, маємо ще одну зміну швидкості – зміну швидкості лише за напрямом.
В результаті, дві зміни швидкості, два прискорення, які виявляються однаковими і тому у виразі 1.4.17 перед векторним добутком стоїть цифра 2.
Наявністю каріолісового прискорення для тіл які рухаються на Землі можна пояснити той факт як,праві береги рік Північній півкулі більш круті – їх підмиває вода під дією сили Каріолісатіла (рис1.4.3)..Наприклад кутова швидкість обертання Землі становить 
і якщо швидкість течії води у ріці яка тече уздовж меридіану дорівнює 
, то каріолісове прискорення 
.Ніби невелике прискорення, але врахуйте значні маси води, яку несе течія і тоді згідно другого закону Ньютона 
сила Каріолісо буде достатньою щоб підмивати береги рік.
Навіть у домашніх умовах можна спостерігати прояви каріолісового прискорення. За ідеальних умов вода при зливі у раковину ванни закручується проти стрілки годинника.
Обертання Землі, що зумовлює наявність каріолісового прискорення, є причиною особливих атмосферних явищ – особливих глобальних вітрів, які називаються пасатами, абоправильними вітрами, тому що вони дують завжди в одному напрямі і раніше для парусних суден вони забезпечували необхідне мореплавство.
1.5 КОРОТКИЙ ЗМІСТ ОСНОВНИХ ПИТАНЬ КІНЕМАТИКИ
1. Кінематика – розділ механіки, який вивчає рух тіл, не з’ясовуючи причини руху тіл. Основне завдання механіки – визначити положення тіла в просторі в будь який момент часу. Для цього вибирають відповідну систему відліку.
2. Система відліку – це тіла відліку, зв’язана з ними система координат з вказаним початком та годинник в цій системі.
3. Матеріальна точка. Якщо розміри тіла за даних умов не грають ролі, то таке тіло розглядають як матеріальну точку і її положення в просторі можна наведеними нижче способами.
4. Способи опису руху матеріальної точки:
а) векторний спосіб, при якому положення матеріальної точки в просторі визначається кінцем радіуса-вектора і рух точки задається рівнянням залежності радіуса-вектора від часу
.
б) координатний спосіб. З тілами відліку зв’язують систему координат, наприклад Декартові, і тоді положення точки в просторі задається рівняннями залежності координат від часу
.
в) природний спосіб. При такому способі положення точки визначається шляхом S, який пройшла точка по відомій траєкторії і рівняння руху має вигляд залежності шляху від часу 
.
Траєкторія – лінія, яку описує матеріальна точка при своєму русі.
Шлях – довжина відрізку траєкторії. Шлях – скалярна величина.
Переміщення – вектор, який з’єднує початкове і кінцеве положення точки при її русі.
5. Рівномірний рух, швидкість рівномірного руху. Якщо за будь, які але рівні проміжки часу (якими би малими вони не були), тіло проходить однакові відрізки шляху, то такий рух рівномірний. При такому русі відношення
модуль швидкості рівномірного руху Швидкість вектор. Напрям вектор швидкості співпадає з напрямом переміщення