Теорема 1 (перше правило)

Нехай функція неперервна на деякому інтервалі, в якому міститься критична точка х ₀, і диференційована в усіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої точки х ₀). Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна:

1) змінює знак з «+» на «–», то при х = х ₀ функція має максимум;

2) змінює знак «–» на «+», то функція має у цій точці мінімум;

3) не змінює свого знака, то функція в точці х = х ₀ екстремуму не має.

Геометрична ілюстрація теореми 1 (рис. 6). Нехай у точці х = х ₁ маємо і для всіх х, достатньо близьких до точки х ₁, виконуються нерівності

Рис. 6

Тоді при дотична до кривої утворює з віссю Ох гострий кут — функція зростає, а при дотична утворює з віссю Ох тупий кут — функція спадає; при х = х ₁ функція переходить від зростання до спадання, тобто має максимум.

Якщо в точці х ₂ маємо і для всіх значень х, достатньо близьких до точки х ₂, виконуються нерівності

то при дотична до кривої утворює з віссю Ох тупий кут — функція спадає, а при дотична до кривої утворює гострий кут — функція зростає. При х = х ₂ функція переходить від спадання до зростання, тобто має мінімум.

Якщо при х = х ₃ маємо і для всіх значень х, достатньо близьких до х ₃, виконуються нерівності при ; при , то функція зростає як при , так і при . Звідси при х = х ₃ функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

Зауваження. На основі даної теореми можна сформулювати таке правило для дослідження неперервної функції на максимум і мінімум.

1. Знаходимо першу похідну функції, тобто .

2. Обчислюємо критичні значення аргументу х (критичні точки), для цього:

а) прирівнюємо першу похідну до нуля і знаходимо дійсні корені здобутого рівняння ;

б) знаходимо значення х, для яких похідна має розрив.

3. Досліджуємо знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Оскільки знак похідної залишається сталим в інтервалі між двома критичними точками, для дослідження знака похідної ліворуч і праворуч, наприклад від критичної точки х ₂ (рис. 6), досить визначити знак похідної в точках і , де х ₁ і х ₃ — найближчі критичні точки).

4. Обчислюємо значення функції у кожній критичній точці.

Приклад. Дослідити на максимум і мінімум функцію .

l 1. Знаходимо першу похідну .

2. Знаходимо дійсні корені рівняння . Звідки .

Похідна скрізь неперервна. Значить, інших критичних точок для заданої функції не існує.

3. Досліджуємо критичні значення. Для цього область визначення функції здобутими критичними точками розбиваємо на три інтервали , (1, 3), ().

Виберемо в кожному інтервалі по одній точці і обчислимо значення похідної в цих точках:

;

;

.

Знак похідної на кожному з трьох інтервалів збігається зі знаком похідної в обраній точці відповідного інтервалу (табл. 1).

З таблиці видно: при переході (зліва направо) через значення
х = 1 похідна змінює знак з «+» на «–». Звідси, при х = 1 функція має максимум:

.

Таблиця 1

х	(– ¥, 1)		(1, 3)		(3, + ¥)
	+		–		+
у

При переході через значення х = 3 похідна змінює знак з «–» на «+». Звідси, при х = 3 функція має мінімум:

.

На інтервалі:

1) — функція зростає;

2) (1, 3) — спадає;

3) — зростає.

Крім того,

.

На основі проведеного дослідження будуємо графік функції (6).

Рис. 6

Теорема 2 (друге правило). Якщо для диференційовної функції у деякій точці х ₀ її перша похідна дорівнює нулю, а друга похідна існує й відмінна від нуля, тобто , , то:

1) якщо друга похідна , то в точці х ₀ функція має мінімум;

2) якщо — максимум;

Дата добавления: 2014-01-07