Складний рух точки

Лекція 4

3.1. Основні поняття

В класичній механіці прийняті умовно-нерухомі (інерціальні) системи відліку. Але в природі таких систем не існує, тому при розв'язуванні задач на практиці слід брати до уваги рухомість системи відліку.

Основною задачею кінематики складного руху точки є визначення основних його характеристик у двох різних системах координат (с. к.), якщо відомий взаємний відносний рух цих систем координат.

Введемо дві системи координат (див. рис. 3.1): умовно-нерухому с. к. - , і рухому с. к. - .

Рис. 3.1.Системи координат при складному русі точки.

Розглянемо рух точки , приймаючи до уваги рухомість с. к. . Назвемо рух т. відносно рухомої с. к. () відносним, відносно нерухомої с. к. () - абсолютним, і введемо поняття переносного руху (див. також рис. 3.2). Переносним рухом будемо називати рух тієї точки рухомого середовища, з якою у даний момент часу збігається рухома точка, відносно нерухомої системи координат.

Рис. 3.2. До визначення відносного, переносного і абсолютного рухів.

Визначимо положення т. у цих двох системах координат векторним способом.

Проведемо радіус-вектор із т. в т. . Тоді співвідношення

(3.1)

будемо називати кінематичним рівнянням відносного руху точки.

Положення т. у нерухомій с. к. визначається радіус-вектором , а положення початку рухомої с. к. відносно нерухомої - радіус-вектором .

3.2. Формула Бура

Розглянемо вираз вектора через його проекції в рухомій системі координат

	з ортами (рис. 3.3): , і знайдемо абсолютну похідну від нього .   Оскільки система координат рухається довільним чином відносно , тому її одиничні вектори (орти) не є сталими, і вираз абсолютної похідної набуде вигляду
Рис. 3.3. До визначення вектора .

.

(3.2)

У формулі (3.2) перші три доданки характеризують зміну вектора в рухомій системі координат, тобто їх сума є відносною похідною

.

(3.3)

Останні три доданки у формулі (3.2) позначимо , тобто

.

(3.4)

Помножимо скалярно обидві частини виразу (3.4) послідовно на орти

(3.5)

Отримаємо деякі допоміжні співвідношення

;

.

Введемо наступні позначення:

,

(3.6)

тоді формули (3.5) набудуть вигляду

(3.7)

Ці вирази повністю збігаються з виразами проекцій векторного добутку на осі системи координат . Дійсно

.

Тому має місце вираз

,

(3.8)

з урахуванням якого формула (3.2) набуває остаточного вигляду

(3.9)

і називається формулою Бура.

Таким чином, абсолютна похідна від векторної функції за скалярним аргументом дорівнює сумі відносної похідної тієї ж функції та векторного добутку вектора на .

Формула Бура може застосовуватись до будь-якої неперервної векторної функції довільного скалярного аргументу і широко застосовується в розділі кінематики.

Наведемо деякі частинні випадки формули Бура.

1) Припустимо, що система координат є нерухомою відносно , або рухається поступально.

В цьому випадку, оскільки орти є сталими, за формулами (3.6) маємо , , і тоді формула Бура набуває вигляду .

2) Припустимо, що вектор не змінюється в рухомій системі координат , тоді і отримуємо .

3) Припустимо, що вектор не змінюється в нерухомій системі координат , тобто . Тоді маємо .

Визначимо швидкість і прискорення точки відносно нерухомої с. к. за допомогою формули Бура, для чого доведемо дві теореми.

3.3. Теорема про додавання швидкостей

На підставі рисунку 3.1 можна записати наступне співвідношення, що зв'язує радіус-вектори , і :

.

(3.10)

Визначимо тепер абсолютну швидкість т. , пам’ятаючи при диференціюванні рівності (3.10), що радіус-вектори і орти є функціями часу, -

,

(3.11)

а оскільки т. має у рухомій с. к. координати (тобто ), то можна записати співвідношення (3.11) у наступному вигляді:

.

(3.12)

Зупинимо переносний рух, тобто зафіксуємо положення рухомої с. к. відносно нерухомої. В цьому випадку вектори і будуть постійними і тоді вираз

(3.13)

представляє відносну швидкість т. , - фізичну величину, яка характеризує швидкість зміни положення точки у її відносному русі.

Потім «зупинимо» відносний рух, тобто будемо вважати, що положення т. у рухомій с. к. не змінюється (тобто координати і є сталими величинами). Тоді з формули (3.12) отримаємо вираз

,

(3.14)

який характеризує швидкість зміни положення т. у переносному русі і називається переносною швидкістю.

Враховуючи введені означення, формулу (3.12) можна переписати наступним чином:

.

(3.15)

Таким чином доведена теорема про додавання швидкостей: абсолютна швидкість точки () при складному її русі дорівнює векторній сумі відносної () та переносної () швидкостей.

3.4.Теорема про додавання прискорень (теорема Коріоліса)

Знайдемо абсолютне прискорення т. . Для цього продиференціюємо вираз (3.12) для абсолютної швидкості цієї точки за часом:

(3.16)

Знову «зупинимо» переносний рух, зафіксувавши положення рухомої с. к. відносно нерухомої. Тоді вектори і є сталими і із рівності (3.16), враховуючи, що в цьому випадку абсолютне прискорення збігається з відносним , маємо

.

(3.17)

Якщо тепер уявно зупинити т. , то тоді абсолютне прискорення стає рівним переносному прискоренню , і, помітивши, що відносні координати т. - залишаються сталими, із рівності (3.16) отримаємо

.

(3.18)

Таким чином, у формулі (3.16) залишився непозначеним доданок

,

(3.19)

що називається прискоренням Коріоліса (поворотним прискоренням). Ця фізична величина характеризує швидкість зміни переносної швидкості у відносному русі і відносної швидкості у переносному (фізичний зміст прискорення Коріоліса).

Зробимо більш детальний аналіз цього прискорення.

Перш за все відмітимо, що у випадку переносного поступального руху прискорення Коріоліса відсутнє (у цьому разі орти є векторними константами і похідні від них за часом обертаються в нуль). Наприклад, .

У випадку переносного обертального руху навколо будь-якої осі (див. рис. 3.4) маємо наступні співвідношення (за формулою Ейлера)

Рис. 3.4.До виводу формули Коріоліса.  

, а крім того, за аналогією, , . (3.20)   Тоді, подставивши ці співвідношення (3.20) у формулу (3.19), отримаємо вираз   або

,

(3.21)

яке представляє формулу Коріоліса, що читається наступним чином:

прискорення Коріоліса дорівнює подвоєному векторному добутку вектора кутової швидкості переносного руху і вектора відносної (лінійної) швидкості точки.

Підставивши тепер вирази (3.17) - (3.19) в (3.16), будемо мати

,

(3.22)

що є математичним записом теореми Коріоліса:

абсолютне прискорення точки дорівнює векторній сумі трьох прискорень: переносного, відносного і коріолісового.

За формулою (3.21) знайдемо модуль коріолісового прискорення

.

(3.23)

Коріолісове прискорення дорівнює нулю у трьох випадках:

1) (переносний рух - поступальний);

2) - точка у відносному русі зупинилася.

3) , тобто вектори і колінеарні (що звичайно позначається так: ).

Завдання: шляхом диференціювання формули (3.11) та подальшого аналізу довести, що .

Задача: Компресор з криволінійними каналами обертається навколо осі із заданою кутовою швидкістю . Повітря тече по каналам з постійною відносною швидкістю . Знайти проекції абсолютної швидкості та прискорення на осі координат для частки повітря, що знаходиться у точці каналу , якщо радіус кривини каналу у точці дорівнює , а кут між нормаллю до кривої у точці і радіусом дорівнює . Радіус дорівнює (див. рис. 3.4).

Дано: , , , , .

Знайти: .

Рис. 3.4.Компресор з криволінійними каналами.

Розв'язання Рух по каналу є відносним рухом, а крива являє собою траєкторію відносного руху. Рух т. відносно нерухомої системи координат - абсолютний, його траєкторія - спіраль. Переносний рух – це рух тієї точки каналу, в якій у даний момент часу знаходиться т. , тобто по колу радіуса . Для знаходження скористаємося теоремою про додавання швидкостей . Обчислюємо із рівняння обертального руху, «зупинивши» відносний рух: .

Тоді

.

Для визначення абсолютного прискорення застосуємо теорему про додавання прискорень

.

визначимо, «зупинивши» переносний рух колеса і згадавши отримані раніше співвідношення для складових повного прискорення при довільному криволінійному русі (див. рис. 3.5 а) і при обертанні точки навколо нерухомої осі (рис. 3.5 b):

,

(a) Довільний криволінійний рух	(b) Обертання навколо нерухомої осі
Рис. 3.5.Співвідношення для складових повного прискорення.

де (оскільки ), , звідки випливає, що .

Для визначення «зупинимо» відносний рух, тоді маємо

,

причому

(оскільки ),

.

Таким чином, .

Коріолісове прискорення знайдемо, скориставшись формулою:

,

а саме:

.

Потім знаходиться абсолютне прискорення шляхом проектування кожного з векторів правої частини на осі ; знаходження сум проекцій вказаних векторів на осі і - , і визначення модуля вектора абсолютного прискорення .

Отже, маємо:

Тоді остаточно отримаємо:

,

де .

Відповідь: , ,
де .

Дата добавления: 2014-01-07