Кути Ейлера

Нехай тіло , з яким жорстко зв’язана с. к. , здійснює (сферичний) рух у нерухомій с. к., причому початки обох систем збігаються із нерухомою точкою .

Положення т. в нерухомій системі координат визначає радіус-вектор , а в рухомій () – вектор (див. рис. 6.2)

.

(6.1)

Перетворення координат точки від рухомої системи координат до нерухомої може бути подано таким чином:

(6.2)

або у матричній формі -

.

(6.3)

Рис. 6.2.Системи координат при сферичному русі твердого тіла.

Рівняння (6.2) або (6.3) є кінематичними рівняннями руху тіла з однією нерухомою точкою.

В них коефіцієнти є функціями трьох незалежних величин – кутів Ейлера: прецесії (), нутації (), та власного обертання ().

За допомогою рівнянь (6.2) або (6.3) можна визначити положення точки тіла в нерухомій системі координат .

Теорема 1 (Ейлера): довільне переміщення твердого тіла з нерухомою точкою можна здійснити за допомогою трьох послідовних поворотів навколо вибраних визначеним чином осей.

Нехай у початковий момент часу осі нерухомої і рухомої с. к. із загальним початком у нерухомій точці збігаються (з , з , з ).

Здійснимо три послідовних повороти тіла, осі, кути і відповідні кутові швидкості яких вказані у табл. 6.1 і показані на рис. 6.3.

Таблиця 6.1. Кути Ейлера

Поворот	Вісь	Кут	Кутова швидкість
		(прецесії)
	[1]	(нутації)
		(власного обертання)

Оскільки кожному моменту часу відповідає означене положення тіла і означені кути Ейлера, тому залежності

Рис. 6.3. Повороти і кути Ейлера.

можуть бути прийняті в якості кінематичних рівнянь руху тіла, що обертається навколо нерухомої точки. Одночасно вони визначають закон руху твердого тіла з нерухомою точкою.

Знайдемо миттєву кутову швидкість обертання твердого тіла з нерухомою точкою (див. п. 4.2):

.

(6.4)

Оскільки з рис. 6.3 випливає, що і , то складаючи спочатку за правилом паралелограма і (кут між ними ), отримаємо: , а використавши теорему косинусів, знайдемо модуль цього вектора

.

Врахувавши потім, що , знайдемо шукану миттєву кутову швидкість

.

Дата добавления: 2014-01-07