Основні правила диференціювання

1. (u v) ' = u'v'

2. (c u) ' = c(u)'

3. (u v)' = u'v + uv'

4.

5. Похідна складної функції: (f (g (x))) ' = f '(g (x))g'(x)

Доведення деяких формул з таблиці похідних.

1. c'=.

3. (sin x)'==.

Доведення деяких правил диференціювання.

1) (u+v) '=lim.

5) (f(g(x)))'=

=.

Вправа. Подумати над доведенням інших формул.

Роздивившись таблицю похідних основних елементарних функцій та таблицю правил диференціювання отримуємо теорему.

Теорема. Похідна елементарної функції є також елементарною функцією.

Приклади. 1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

Знаходження похідної з допомогою логарифмування

(логарифмічне диференціювання)

Логарифмічне диференціювання полягає в тому, що перш ніж взяти похідну, функцію логарифмують за основою е: у=f(x), ln= ln, тоді, після спрощення правої частини за властивостями логарифмів, беруть похідну з лівої і правої частини та з отриманого рівняння виражають похідну у'.

Цей метод використовують коли функція є складним добутком, часткою чи степенем, бо при логарифмуванні вони спрощуються.

.

Приклад. y = (sin x)^x.

Функція визначена в околі точки х, якщо sin x>0. Тільки в таких точках можна шукати похідну.

ln у=ln(sin x)^x=x ln(sin x)

y' = y (ln sin x + x ctg x)= (sin x)^x (ln sin x + x ctg x).

Вправа. Знайти похідну функції .

Диференціал функції

Приклад. Знайдемо приріст функції в точці в т.х₀=3 при довільному малому приросту аргументу х. . Отже приріст функції розбився на дві частини: перша – головна частина приросту має вигляд с, де с – число, друга є функцією від – набагато меншою від при малих , кажуть нескінченно малою вищого порядку ніж при . Якщо знайти границю .

Функція y=f(x) називається диференційованою в т.х₀, якщо її приріст в цій точці можна подати у вигляді: , де с – число, а – функція від – нескінченно мала вищого порядку ніж при , тобто .

Тоді основну частину приросту функції, а саме називають диференціалом функції в т. х_{0 .} Позначення: .

Теорема (про зв’язок похідної і диференціалу). Функція диференційована в точці тоді і тільки тоді, коли існує похідна в цій точці. Тоді а тому

.

Доведення. Нехай f диференційована в т. х₀ . Знайдемо похідну функції , тобто існує похідна рівна с.

Нехай існує . Доведемо, що f диференційована в точці х₀. Позначимо вираз через і доведемо, що він є нескінченно малим вищого порядку ніж при .

. Теорема доведена.

Операції знаходження похідної або диференціалу називають диференціюванням функції. Функція називається диференційованою на інтервалі, якщо вона диференційована в кожній точці інтервалу.

Теорема (про зв’язок диференціювання і неперервності). Диференційована в точці функція є неперервною в ній.

Доведення. Нехай функція диф. в точці. Тоді , при .

Навпаки не завжди правильно.

Приклад. – неперервна на, але не існує похідної в точці 0, бо = ==. Аналогічно для лівої границі отримаємо -1. Отже, дана границя не існує.(Можна також побачити на графіку в точці 0 є кут, тому нема дотичної).

Геометричний і практичний зміст диференціалу

. Але , де k – кутовий коефіцієнт дотичної в т. х₀.

f(х₀+х) K

у=f(х)

dy

М0 y

f(х₀) x P

х₀ х₀+х

З M₀PK: dy= tg – приріст дотичної. Отже, геометричний зміст диференціалу: диференціал функції в точці це приріст дотичної в даній точці.

Якщо - мале, то приріст дотичної мало відрізняється від приросту самої функції . Це ж випливає і з означення диференційованості в точці, бо величиною , яка є набагато меншою від можна знехтувати. Отже, практичний зміст диференціалу: при малих .

Дану формулу часто використовують в наближених обчисленнях.

Приклад. Обчислити наближено arctg 1,01.

Розглянемо функцію у=arctg x. Відомо, що arctg 1= . Приріст аргументу

=1,01-1=0,01 – досить малий. Можна замінити . Обчислимо в точці х=1. Тоді

arctg 1,01=arctg 1+arctg 1+3,1416/4+0,005=0,7854+0,0050,79.

Нова формула для диференціалу

Приклади. .

Отже, формулу для диференціалу можна переписати у вигляді:

Приклади. 1) 2) .

Нова формула для диференціалу має дуже зручну властивість.

Теорема (про інваріантність форми диференціалу). Формула є правильною також коли х є внутрішньою функцією х=х(t).

Доведення. Нехай х=х(t). .

Отже, диференціал можна брати від функції поступово.

Приклад. .

Також можна проводити обернену операцію – підведення під знак диференціалу: (також можна поступово (див. нижче пр.3)).

Приклади. 1) 2) 3) .

Із формули виразимо : – тобто, похідна дорівнює відношен-ню диференціалів. Це формула для обчислення похідної через диференціали. Вона правильна і тоді коли х незалежна змінна і коли х є внутрішньою функцією. Щоб підкреслити те, що похідна з функції у береться саме по змінній х використовують таке позначення . Також як позначення похідної з функції у по змінній х часто використовують вираз .

Правила диференціювання.

(Випливають із відповідних правил знаходження похідної і формули .)

dc=0 d(uv)=vdu+udv

d(cu)=c du

d(uv)=du dv

Похідна параметрично заданої функції

Кажуть функція у від х задана параметрично, якщо . Тут t – параметр.

Інколи можна з першого рівняння виразити t через х і, підставивши його в друге рівняння, отримати залежність у від х в звичайному, кажуть в явному вигляді.

Приклад. – параметрично задана функція.

, – та ж функція але задана явно.

Можна зразу ж шукати похідну з параметрично заданої функції, використавши формулу для похідної через диференціали.

. Функція тут залежить від параметру t як і функція у=у(t). Щоб розглядати її як функцію від змінної х, дописують ще залежність х від t: . Отже, похідна параметрично заданої функції вийшла також параметрично задана функція.

Приклад.

Похідна оберненої функції.

Нехай функція у=у(х) має обернену х=х(у).

Оскільки, то аналогічно .

Приклад. у=arcsin x – обернена функція до х= sin y, y є [-]. , то . (Враховано, що на даному проміжку.)

Похідна неявно заданої функції

F(x,y)=0 – це рівняння задає залежність у від х неявно. Кажуть неявно задана функція. Тут F - функція двох змінних.

Інколи з нього можна виразити у через х і отримати явну залежність у=у(х). Може вийти кілька функцій.

Приклад. – неявно задана функція. – отримали дві явно задані функції.

Можна шукати похідну зразу для неявно заданої функції. Для цього беруть диференціали з обох сторін рівняння, що задає функцію. Тут стають в пригоді правила для диференціалів. Потім з отриманої рівності виражають потрібну похідну .

Приклад. . Візьмемо диференціали з обох сторін рівняння:

.

Зауваження. Похідна виражається не тільки через х, але й через значення у в точці х.

Отже, якщо потрібно знайти похідну в точці х₀, то прийдеться також знайти у(х₀) з початкового рівняння.

Продовження прикладу. . Знайти . . Щоб знайти у(1/2) підставимо х=1/2 в початкове рівняння: , . Тоді . Отже, рівняння задає дві функції, для однієї з них похідна в точці ½ дорівнює , а для іншої дорівнює .

Похідні вищих порядків

Нехай для функції у=f(х) існує похідна в кожній точці деякого проміжку Х. Тоді є також функцією на Х. Для неї знову можна шукати похідну по змінній х. Вона називається похідною другого порядку для початкової функції. Позначається або , . .

Аналогічно -- похідна третього порядку і т. д.

Позначення: -- четверта, п’ята похідні (римськими цифрами), або – четверта, п’ята, n-та похідні (арабськими цифрами в дужках).

Також зустрічаються позначення через диференціали: =а—формула для знаходження похідної ІІ-го порядку через диференціали і позначення.

, – третя, n-та похідні функції у по змінній х.

Приклад. , , , ,…, .

Похідні вищих порядків параметрично заданої функції

, – знову параметрично задана функція. Аналогічно знаходимо для неї похідну по змінній х. Позначаємо або . – функція від t. Добавляємо залежність х(t): – параметрично задана функція. Можна ще шукати похідну, яка буде вже похідною третього порядку для початкової функції.

Приклад. . Можна шукати і т.д.

Основні теореми про диференційовані функції

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости). Якщо функція f неперервна на відрізку [a,b] і диференційована на (а,b), тоді існує точка с є (a,b) така, що f(b)-f(a)= f '(c)(b-a).

Ліва частина рівності це приріст функції на [a,b], в правій частині є (b-a) – приріст аргументу. Отже, формула точно виражає приріст функції через приріст аргументу: .

Геометричний зміст: Якщо поділити на (b-a): . Зліва у формулі стоїть tg=k – кутовий коефіцієнт січної MN. Справа – кутовий коефіцієнт дотичної в точці с. їх рівність означає паралельність січної і дотичної. Отже, теорема стверджує, що якщо крива гладка, то існує

т. с є (a,b) така, що дотична в точці c є паралельною до січної, що проходить через точки з абсцисами a, b.

Теорема (правило Лопіталя – розкриття невизначеностей і ). Нехай частка функцій визначена в деякому проколотому околі точки а і потрібно знайти границю , але за теоремою про арифметичні дії над границями виходить невизначеність або . Тоді, якщо існує границя частки похідних =L (L – число чи нескінченність), то також існує початкова границя рівна L: .

Коротко: , якщо остання границя існує.

Зауваження 1. Якщо границя частки похідних не існує, то про початкову границю не можна зробити ніякого висновку. Вправа. .

2. Правило Лопіталя можна застосовувати і для односторонніх границь і при а =.

3. Правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів підряд, поки виходять вказані невизначеності.

Доведення. (для неперервних разом з своїми похідними в деякому околі точки а функцій)

=.

Приклади. 1. . Оскільки остання границя число, то рівність правильна.

2. .

3. .

Зауваження. Інші види невизначеностей можна тотожними перетвореннями виразів звести до невизначеностей або .

Приклади. 1. =…

Вправа. Доробити границю за правилом Лопіталя.

2. .

Для степеневих невизначеностей: користуються формулою і неперервністю функції .

3. .

Теорема (формула) Тейлора

Якщо функція диференційована в точці в т. х₀, то можна записати

, де – нескінченно мала вищого порядку ніж при , тобто при .

Розпишемо прирости: , те саме: – це є формула Тейлора при n=1.

Теорема. Якщо для функції f(x) існують похідні до n-того порядку в деякому околі точки х₀, то справедлива формула Тейлора: де – нескінченно мала вищого порядку ніж при , цей вираз називається ще залишковим членом формули Тейлора. Залишковий член можна виписати точніше (у формі Лагранжа): , де точка с належить інтервалу з кінцями х₀ та х.

Зауваження. Формула Лагранжа у вигляді , де с є (х₀,х) є формулою Тейлора при n =0 із залишковим членом у формі Лагранжа.

Якщо х₀=0, то формула Тейлора називається ще формулою Маклорена:

, де – нескінченно мала вищого порядку ніж при . Залишковий член можна виписати точніше , де точка с належить інтервалу з кінцями 0 та х.

Формули Тейлора, Маклорена є незамінними для наближених обчислень з наперед заданою точністю. Детальніше з ними познайомимось, вивчаючи тему «Ряди».

Дата добавления: 2014-01-07