Формула Ньютона - Лейбніца

Обчислення визначеного інтеграла як границі інтегральних сум з практичної точки зору непридатне як метод. Теорема про похідну визначеного інтеграла із змінною верхнею межею, розкриваючи глибокий зв’язок між невизначеним і визначеним інтегралом, встановлює простий і найважливіший метод обчислення визначених інтегралів. Цей метод ґрунтується на теоремі:

Теорема. Якщо функція неперервна на і – яка-небудь первісна для функції на , то справедлива формула:

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доведення. Розглянемо визначений інтеграл із змінною верхнею межею, в якому нижня межа дорівнює :

За наслідком з теореми про похідну інтеграла із змінною верхнею межею, цей інтеграл є первісною для функції на . - теж первісна для функції на за умовою. Але дві первісні однієї і тієї ж самої функції відрізняються на сталу. Отже, існує стала така, що

(1)

Зокрема, при , отже , звідки .

Підставимо це значення в (1):

При ця рівність теж виконується: .

Отримана рівність співпадає з потрібною, тому що інтеграл не змінюється від позначення змінної.à

Зауваження. 1. Різницю умовно позначають як , тому формулу Ньютона-Лейбніца записують у вигляді

2. Формула Ньютона-Лейбніца встановлює зв’язок між задачею знаходження первісної функції і задачею обчислення границі інтегральних сум.

Дата добавления: 2014-01-07