Поверхні рівного тиску

Як ми вже відзначали вище, поверхня, у всіх точках якої тиск однаковий, називається поверхнею рівня або поверхнею рівного тиску. При нерівномірному або непрямолінійному русі на частки рідини крім сили тяжіння діють ще й сили інерції, причому якщо вони постійні за часом, то рідина приймає нове положення рівноваги. Така рівновага рідини називається відносним спокоєм.

Розглянемо два приклади такого відносного спокою.

У першому прикладі визначимо поверхні рівня в рідині, що перебуває в цистерні, у той час як цистерна рухається по горизонтальній колії з постійним прискоренням a (мал.2.6).

Мал. 2.6. Рух цистерни із прискоренням

До кожної частки рідини маси m повинні бути в цьому випадку прикладені її вага G = mg і сила інерції Pu, рівна по величині ma. Рівнодіюча цих сил спрямована до вертикалі під кутом α, тангенс якого дорівнює

Так як вільна поверхня, як поверхня рівного тиску, повинна бути нормальна до зазначеної рівнодіючої, то вона в цьому випадку представить собою вже не горизонтальну площину, а похилу, складову кут α з горизонтом. Враховуючи, що величина цього кута залежить тільки від прискорень, доходимо висновку, що положення вільної поверхні не буде залежати від роду рідини, що перебуває в цистерні. Будь-яка інша поверхня рівня в рідині також буде площиною, нахиленою до горизонту під кутом α. Якби рух цистерни був не рівноприскореним, а рівносповільненим, напрямок прискорення змінився б на зворотнє, і нахил вільної поверхні звернувся б в іншу сторону (див. мал.2.6, пунктир).

У якості другого прикладу розглянемо випадок, що часто зустрічається в практиці – випадок відносного спокою рідини в сосудах, що обертаються (наприклад, у сепараторах і центрифугах, застосовуваних для поділу рідин). У цьому випадку (мал.2.7) на будь-яку частку рідини при її відносній рівновазі діють масові сили: сила тяжіння G = mg і відцентрова сила Pu = mg²r, де r - відстань частки від осі обертання, а ω - кутова швидкість обертання сосуду.

Поверхня рідини також повинна бути нормальна в кожній точці до рівнодіючої цих сил R і представить собою параболоїд обертання. Із креслення знаходимо

З іншого боку:

де z - координата розглянутої точки. Таким чином, одержуємо:

звідки

або після інтегрування

Мал. 2.7. Обертання сосуда з рідиною

У точці перетинання кривої АОВ з віссю обертання r = 0, z = h = C, тому остаточно будемо мати

тобто крива АОВ є параболою, а вільна поверхня рідини параболоїдом. Таку ж форму мають і інші поверхні рівня.

Для визначення закону зміни тиску в обертовій рідині у функції радіуса й висоти виділимо вертикальний циліндричний об’єм з основою у вигляді елементарного горизонтального майданчика dS (точка М) на довільному радіусі r і висоті z і запишемо умову його рівноваги у вертикальному напрямку. З урахуванням рівняння (2.11) будемо мати

Після скорочень одержуємо

Це означає, що тиск зростає пропорційно радіусу r і зменшується пропорційно висоті z.

Дата добавления: 2014-01-07