Стохастичний експеримент, простір елементарних наслідків

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

Вихідними поняттями теорії ймовірностей є поняття стохастичного експерименту, випадкової події та імовірності випадкової події. Стохастичними називаються експерименти, можливі наслідки яких відомі, але заздалегідь угадати, який з них буде мати місце не можна. Множину всіх можливих наслідків експерименту називають простором елементарних наслідків і позначають =.

Таким чином, розглянутому експерименту поставлена у відповідність деяка множина , елементами якої є взаємовиключні елементарні наслідки . Результатом експерименту є один і тільки один результат. Розглянемо приклади.

1. Один раз кидають монету. Множина , де буква Г означає появу герба, буква Р -поява решки.

2. Один раз кидають гральний кубик. Можливі наслідки цього експерименту - випадання числа очок, рівного 1, 2, 3, 4, 5, 6, тобто

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

3. Монету кидають двічі,

,

тут ГГ означає, що обидва рази з'явиться герб,

ГР - при першому киданні з'явиться герб, а при другому -решка,

РГ - при першому киданні з'явиться решка, при другому -герб,

РР - обидва рази з'явиться решка.

4. Монету кидають до першої появи герба. Можливі наслідки експерименту:

Г - герб випаде з першого разу,

РГ - герб випаде при другому киданні,

РРГ - герб випаде при третьому киданні і т. д

Теоретично експеримент може тривати нескінченно довго. Простором елементарних подій такого експерименту є нескінченна множина

5. Дві особи А і В умовилися зустрітися в інтервалі часу [ 0,T ]. Позначимо

x - час приходу особи А _,

_{Y -}час приходу особи В.

Геометрично цей простір представляє квадрат, зображений на Рисунок.1

Рисунок 1. Простір елементарних наслідків експерименту 4.

Множину називають простором елементарних наслідків (подій). Наведені приклади показують, що множина може бути дискретною і неперервною. До дискретних відносяться скінченні або зліченні множини елементарних наслідків, до неперервних - множини типу континуума (будь-який скінченний або нескінченний інтервал на числовій прямій являє приклад множини типу континуума).

Простір елементарних наслідків залежить від умов, в яких відбувається випадковий експеримент. Надалі будемо розглядати умови, за яких наслідки експерименту рівно можливі, тобто ніякий результат експерименту не має об'єктивної переваги перед іншими.

У розглянутих вище прикладах передбачається, що експерименти відбуваються в ідеальних умовах (ідеальна монета кидається на ідеально гладку поверхню й т.д.).

Визначення випадкової події.

Елементарні наслідки експерименту - це найпростіші випадкові події й визначенню не підлягають. Однак у кожному випадковому експерименті крім елементарних можуть відбуватися й інші випадкові події. Так, наприклад, у прикладі 2 можна розглянути події:

А - випадання парного числа очок,

В - випадання числа очок, не менше 4,

С - випадання непарного числа очок і т.д.

Подія А відбудеться, якщо буде мати місце один з наслідків експерименту: випаде число очок, рівне 2 або 4 або 6. Таким чином,

А = { 2, 4, 6 }, В = { 4, 5, 6 }, C = { 1, 3, 5 }.

У прикладі 3 можуть відбутися події:

А - хоча б один раз випаде герб,

В - герб випаде при першому киданні,

С - хоча б один раз випаде решка і т.д.

А = { ГГ, ГР, РГ }, В = { ГГ,ГР }, С = { РР,РГ,ГР }.

Нехай у прикладі 4 подія А полягає в тому, що буде зроблено не більше трьох кидань. Тоді

А = .

Розглянемо задачу про зустріч (приклад 5). Припустимо, що кожна з осіб А и В очікує іншого час, не більш ніж t, <t < Т. Нехай С - подія, яка полягає в тому, що зустріч відбудеться. Тоді

С ={(x, y): }

(Рисунок 2).

Рисунок 2. Подія С- зустріч відбудеться

Ті елементарні наслідки, за яких подія А настає, називають сприятливими події А.

Отже, випадкова подія А – це деяка підмножина , що складається із всіх тих елементів - елементарних подій, які сприяють події А.

Дата добавления: 2014-01-07