Алгебра подій

Лекція 2.

Подія називається неможливою, якщо вона в експерименті напевно не наступить і позначається Подія називається достовірною, якщо вона в експерименті напевно наступить і позначається . Сама множина є достовірною подією, оскільки один з його наслідків обов'язково відбудеться. Так, у прикладі 2 подія - «випадіння числа очок, рівного 7», є в цьому випадку неможливою, а подія - «випадання числа очок, не більше 6», - достовірна подія.

Якщо у випадковому експерименті з настання події А випливає настання події В, то говорять, що А тягне за собою В(А В).

Якщо А В, а В А, то говорять, що події А и В рівносильні (А = В).

Сумою двох подій А и В називають подію А + В (АВ), що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбувається або подія А, або подія В. Сума подій відповідає об'єднанню множин (Рисунок 3).

Рисунок 3. Сума двох подій.

У Прикладі 2 А + В= { 2, 4, 5, 6 }.

Аналогічний зміст має сума будь-якого числа подій. Якщо I-довільна множина значень деякого індексу i, A- деяка множина подій то сума є подію, що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбувається хоча б одна подія A.

Добутком двох подій А и B (подій A, i) називають подію AВ (АВ), що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбувається й подія А, і подія В (всі події A, i).

Добуток подій відповідає перетину множин (Рисунок 4).

Рисунок 4. Добуток двох подій.

Для подій із приклада 2 АВ = { 4, 6 }.

Різниця А \ В двох подій А и В є подія, що відбувається тоді й тільки тоді. коли відбувається А, але не відбувається В. Різниця подій відповідає різниці множин (Рисунок 5)

Рисунок 5. Різниця двух подій.

У прикладі 2 А \ В = { 2 }.

Подія називається протилежною події А, якщо воно відбувається тоді й тільки тоді, коли не відбувається А (відповідає доповненню множин) Рисунок 6.

Рисунок.6. Протилежна подія.

У прикладі 2 = { 1, 3, 5 }.

Операції додавання й множення подій мають наступні властивості:

а) А+В = В+А, АВ = ВА (комутативність);

б) (А+В)+С =А+(В+С ), А(ВС)=(АВ)С (асоциативність);

в) (А+В)С=АС+ВС) (дистрибутивність множення відносно додавання).

Відзначимо ще деякі очевидні співвідношення:

А, А, , .

Дві події А і В називаються неспільними, якщо неможливо їхнє спільне наставання, іншими словами АВ = . Прикладом неспільних подій є А и .

Сукупність подій А,А, …, А становить повну групу попарно несумісних подій, якщо:

1) хоча б одна із цих подій неодмінно відбувається;

2) будь-яка пара подій несумісна, АА=,ij, i,j=.

Класичне означення ймовірності.

Імовірність - це кількісна оцінка можливості настання випадкової події. За класичним означенням, імовірністю випадкової події Р(А) називається відношення числа m сприятливих наслідків до загального числа n рівноможливих наслідків експерименту

Р(А) =

Класична ймовірність має наступні властивості:

1. Р(А)0.

2. Імовірність достовірної події дорівнює 1:

Р()=1.

3. Якщо подія С = А+В, причому А и В несумісні, то

Р(С) = Р(А)+Р(В).

4. Імовірність протилежної події дорівнює

Р() =1- Р(А).

5. Імовірність неможливої події дорівнює нулю

Р() = 0.

6. Якщо АВ, то Р(А)Р(В).

7. Імовірність будь-якої події міститься між нулем і одиницею

0Р(А) 1.

Розглянемо приклади на обчислення ймовірностей.

Приклад 1. Один раз підкидають монету. Чому дорівнює ймовірність випадання герба?

Тут , причому наслідки експерименту рівно можливі, А={ Г }, у такий спосіб m =1, n =2, P(A) = .

Приклад 2. Один раз підкидають гральний кубик. Чому дорівнює ймовірність того, що випаде число очок, не менш чотирьох?

- рівноможливі, А={4,5,6}, m =3, n =6, P(A) = .

У більш складних задачах не представляється можливим явно записати всі наслідки експерименту, а також сприятливі випадковій події наслідки. У таких випадках застосовуються комбінаторні методи підрахунку чисел m і n.

Приклад 3. У ящику знаходиться 10 деталей, серед яких 3 бракованих. З ящика навмання витягають 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться дві браковані.

Подія А - серед 5-ти витягнутих деталей 2 бракованих, а 3 якісних.

Для підрахунку m і n використаємо правило сполучень:

n =, P(A) = = = .

Відзначимо недоліки класичного означення ймовірностей:

1. Класичне означення неможливо застосувати у випадку нескінченного простору елементарних наслідків.

2. Існує проблема знаходження розумного способу виділення «рівноможливих випадків». Наприклад, як визначити ймовірність того, що народжена дитина виявиться хлопчиком?

По мірі розвитку теорії ймовірностей з'явилися інші означення ймовірності, які усували недоліки класичного. Розглянемо ще один підхід до означення ймовірності.

Статистична оцінка ймовірності.

Тривалі спостереження над появою або не появою події А при великій кількості незалежних випробувань у ряді випадків показують, що число появ події А підкоряється стійким закономірностям. Позначимо

- число появ події А,

n - число випробувань,

- частота появи події А при досить великому n зберігає майже постійну величину.

Таким чином, під статистичною ймовірністю розуміється відносна частота появи події А в n зроблених експериментах.

Статистична ймовірність має ті ж властивості, що й класична ймовірність, але при цьому не потрібно рівно можливості наслідків. Найбільш загальним є аксіоматичне оизначення ймовірності, що сформулював радянський математик Колмогоров А.Н. в 1933 р. Однак розгляд цього означення виходить за рамки даного курсу лекцій.

Дата добавления: 2014-01-07