На тому самому просторі елементарних наслідків можна розглядати не одну, а кілька випадкових величин. Наприклад, підкидають три гральних кубика. Можна розглядати одну випадкову величину ξ - суму очок, що випали, або три випадкових величини:
ξ1 – число очок, що випали на 1-му кубику,
ξ2 – число очок, що випали на 2-му кубику,
ξ 3 – число очок, що випали на 3-му кубику.
В економіці, як правило, на показник діє кілька факторів, наприклад, якість продукції залежить від багатьох факторів.
При цьому F(x1, x2, …, xn) – неспадна функція за кожним аргументом.
Для дискретної системи випадкової величини закон розподілу визначається задачім вектора x1, x2, …,xn і вектора ймовірностей ,
таких, що .
Функція розподілу виражається у вигляді кратної суми
F(x1, x2, …, xn) = , (21)
де підсумовування проводиться по всіх можливих значеннях кожної з випадкових величин, для яких .
Система ξ1, ξ2, …, ξn називається неперервною, якщо існує f(x1, x2, …, xn ) 0 така, що для будь-яких x1, x2, …, xn функцію розподілу F(x) можна представити у вигляді n-мірного інтеграла
F(x) =. (22)
Функція f () називається щільністю розподілу ймовірностей системи випадкових величин,
f() = (23)
в точках неперервності.
Випадкові величини ξ1, ξ2, …, ξn називаються незалежними, якщо для будь-яких
x1, x2, …, xn незалежні події .
Для незалежних ξ1, ξ2, …, ξn функція розподілу дорівнює добутку функцій розподілу кожної випадкової величини
F(x1, x2, …, xn) = (24)
Також справедливі рівності:
для дискретних випадкових величин р=
= ,
для неперервних випадкових величин f() = .
Основними числовими характеристиками n випадкових величин є математичні сподівання
М() = (25)
і дисперсії
D() = = . (26)
Умовним законом розподілу однієї випадкової величини, що входить у систему, називається закон, знайдений за умови, що інша випадкова величина, що входить у цю же систему, прийняла певне значення. Умовний закон розподілу задається як функцією розподілу, так і щільністю розподілу. Якщо розглядається розподіл випадкової величини ξi за умови, що інша випадкова величина ξj прийняла певне значення, то умовна функція розподілу позначається F(x/y), а щільність - f(x/ y). Важливими характеристиками є умовні математичні сподівання й умовні дисперсії. Нехай випадкова величина ξi приймає значення
a = (), а випадкова величина ξj - b = ().
Умовним математичним сподіванням дискретної випадкової величини ξi при ξj = b називають суму добутків можливих значень ξ i на їхні умовні ймовірності. Тоді умовне математичне сподівання обчислюється за формулою:
M(ξi / ξj =b) = . (27)
Для неперервних випадкових величин
M(ξi / ξj =b) = . (28)
Особлива роль у вивченні системи випадкових величин належить кореляційному моменту
(коваріації). Коваріацією випадкових величин ξi і ξj називається число
Для незалежних випадкових величин коваріація дорівнює нулю, тому що в цьому випадку M(ξiξj) = M(ξi)M(ξj).
Очевидно, що = = D(), cov(ξiξj) = cov(ξξ)
Всі парні коваріації становлять симетричну щодо головної діагоналі коваріаційну матрицю розмірністю (nn).
=
Визначник коваріаційної матриці є узагальненою дисперсією системи випадкових величин.
Розглянемо систему тільки двох випадкових величин, нехай ξ1, ξ2. Нехай випадкова величина ξ1 приймає значення з множинаі X, ξ2 – з множинаі Y, (X,Y) - дійсні числа. Мірою лінійної залежності двох випадкових величин ξ1, ξ2 є коефіцієнт кореляції
, (30)
Властивості коефіцієнта кореляції:
1. |ρ|.
2. |ρ|=1 тоді й тільки тоді, коли між випадковими величинами існує
лінійний функціональний взаємозв'язок
y = аx + b, (31)
де ,
причому, якщо ρ = 1, то a > 0, якщо ρ = -1, то a < 0 (Рисунок 15)
Для незалежних випадкових величин ρ = 0, але обернене твердження невірне, тому що між випадковими величинами може бути інший тип взаємозв'язку (нелінійний). Чим ближче значення ρ до нуля, тим слабкіше лінійний взаємозв'язок, чим ближче по модулю до одиниці, тим - сильніше. Якщо ρ = 0, то говорять, що випадкові величини некорельовані. Можна показати, що якщо нормально розподілені випадкові величини некорельовані, то вони незалежні.
Рисунок 15. Лінійний функціональний взаємозв'язок
.
Нехай –1<ρ<1 і ρ≠0. Якщо нанести точки (X,Y) на координатну площину Xo, то можна помітити, що ці точки групуються навколо деякої прямої y = ax + b. Обчислимо коефіцієнти a,b ції прямої за умови, що дисперсія відхилень точок (X,Y) від точок на прямій була мінімальна.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2025) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление