Лекція 10,11. Граничні теореми

.

.

.

.

Рисунок 16. Графік рівняння регресії.

Рівняння, щодо якого дисперсія мінімальна, називається рівнянням регресії. Розглядаючи дисперсію як функцію від двох змінних a і b скористаємося необхідною умовою екстремума

Розв’язуючи цю систему відносно a і b, одержимо

, , рівняння регресії - y = (Рисунок 16),

при цьому дисперсія , і вона є мінімальною.

Таким чином, рівняння регресії в = , дає найкраще лінійне подання ξ₂ по ξ_1.

Кількісною характеристикою нелінійного взаємозв'язку випадкових величин ξ₁, ξ₂ є кореляційне відношення. Коефіцієнт кореляційного відношення ξ₂ по ξ₁ обчислюється за формулою:

, (32)

де - умовна дисперсія, що характеризує розсіювання ξ₂ навколо умовного математичного сподівання .

Властивості кореляційного відношення:

1. .

2. η =0 відповідає некорельованим випадковим величинам.

3. η=1,тоді й тільки тоді, коли має місце функціональна залежність між ξ₁іξ_2. У випадку лінійної залежності ξ₂відξ₁ кореляційне відношення збігається із квадратом коефіцієнта кореляції.

Кореляційне відношення несиметрично відносно ξ₁ іξ₂, тому поряд з розглядається , що визначається аналогічно. Між і немає якої-небудь простої залежності.

Тепер розглянемо сукупність n випадкових величин . Можна обчислити коефіцієнти кореляції ρ_ij між кожною парою випадкових величин. Вони складуть кореляційну матрицю

ρ_ij=ρ_ji, i≠j тобто матриця симетрична відносно головної діагоналі.

Взаємозв'язок якої-небудь випадкової величини ξ_i з усіма іншими випадковими величинами характеризується множинним коефіцієнтом кореляції

(33)

|R| - визначник матриці R,

R_jj – алгебраїчне доповнення, що відповідає елементу кореляційної матриці ρ_jj,

.

Дата добавления: 2014-01-07