Перевірка гіпотези про вид розподілу генеральної сукупності

Критерій і його застосування

Розглянуті вище гіпотези відносились до окремих параметрів розподілу випадкової величини, причому закон її розподілу вважався відомим. Однак у багатьох практичних задачах точний закон розподілу досліджуваної випадкової величини невідомий тобто є гіпотезою, що вимагає статистичної перевірки.

Нехай - вибірка спостережень випадкової величини . Перевіряється гіпотеза , яка стверджує, що має функцію щільності розподілу f(x,).

Перевірка гіпотези за допомогою критерію здійснюється за наступною схемою. За вибіркою спостережень знаходять оцінки невідомих параметрів передбачуваного закону розподілу випадкової величини . Далі область можливих значень випадкової величини розбивається на k множин . Наприклад, на k інтервалів у випадку, коли - неперервна випадкова величина, або k груп, що складаються з окремих значень, для дискретної випадкової величини . Нехай - число елементів вибірки, що належить множині , i = 1,2,…,n.Очевидно, що Використовуючи передбачуваний закон розподілу випадкової величини , знаходять ймовірність того, що значення належить множині , тобто = P(), i = 1,2,…,k... Очевидно. що Вибіркове значення статистики обчислюється за формулою

. (66)

Гіпотеза погоджується з результатами спостережень на рівні значущості , якщо

,

де - квантиль порядку розподілу з k – r -1порядками волі, k- число інтервалів, а r – число невідомих параметрів розподілу, що оцінюються за вибіркою. Якщо ж , то гіпотеза відхиляється.

Зауваження. Призастосуванні критерію необхідно, щоб для всіх інтервалів виконувалася умова . Якщо в деяких інтервалах ця умова не виконується, то їх варто об'єднати із сусідніми.

Приклад 27. Перевіримо на рівні значущості = 0,1 гіпотезу про нормальний розподіл вибірки із Приклада 20.

Обчислимо спочатку оцінку математичного сподівання й оцінку дисперсії , для цього складемо Таблицю 11.

Таблиця 11. Допоміжні обчислення, для оцінки математичного сподівання й оцінки дисперсії

Номер інтервалу i	Границі інтервалу	Середина інтервалу x	Частота m	xm	xm
	14 - 23	18,5		37,0	684,50
	23 - 32	27.5		82,5	2268,75
	32 -41	31,5		219,0	7993,50
	41 -50	45,5		773,5	35194,25
	50 -59	54,5		545,0	29702,50
	59 -68	63,5		571,5	36290,25
	68 -77	72,5		217,5	15768,75
	-	-		2453,0	127902,50

n = = 50, k = 7, = == 49,06

==

= = 12,30

Ймовірності = P() обчислимо за формулою

= P()= , i=1,2,..,7,

де - відповідно нижня й верхня границі інтервалів, а значення беруться з таблиці Додатка 2.

Складемо нову Таблицю 12, розширивши перший і останній інтервали.

Таблиця 12. Обчислення ймовірностей = P()

Номер інтер- валу i	Границі інтервалу	Частота m
	- 23			-2,12		0,0170	0,0170
	23 - 32		-2,12	-1,39	0,017	0,0823	0,0653
	32 -41		-1,39	-0,66	0,0823	0,2546	0,1723
	41 -50		-0,66	0,08	0,2546	0,5319	0,2773
	50 -59		0,08	0,81	0,5319	0,7910	0,2591
	59 -68		0,81	1,54	0,7910	0,9382	0,1472
	68 -		1,54		0,9382		0,0618

Для обчислення за формулою (20) складемо ще одну таблицю, об’єднуючи при цьому перший інтервал із другим і сьомий інтервалом із шостим.

Таблиця 13.Обчислення

Номер інтер- валу i		n
	0,0823	4,1154		0,25
	0,1723	8,6159		1,00
	0,2773	13,86514		0,64
	0,2591	12,95513		0,69
	0,2090	10,45010		0,40
Сума				2,98

Сума чисел остатнього стовпця є вибіркове значення критерію, = 2,98. За таблицею квантилей розподілу знайдемо . Після об'єднання, число інтервалів k=5, число параметрів нормального розподілу r=2, . Тоді == 4,61. Вибіркове значення статистики критерію дорівнює 2,98 і це значення менше, ніж =0,64, отже гіпотеза про нормальний розподіл вибірки приймається.

Дата добавления: 2014-01-07